Resolviendo la ecuación diferencial no exacta

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Resolviendo la ecuación diferencial no exacta

cálculo
integración
Matemáticas
factor de integración
derivada parcial
ecuaciones diferenciales ordinarias

Pascal

Resuelva la siguiente ecuación diferencial:

$a(x\frac{dy}{dx}+2y)=xy\frac{dy}{dx}$ . --Editado: ver notas de edición

Tengo problemas para resolver esta ecuación, los problemas con los que me encuentro se describen a continuación.

Primero, esta es una ecuación diferencial no exacta. No pondré el trabajo aquí, pero se puede ver si pones la ecuación en la forma $\frac{dM}{dy}=\frac{dN}{dx}$ , y resulta que $\frac{dM}{dy}\neq\frac{dN}{dx}$ . Por lo tanto, los factores de integración deben usarse para avanzar en la resolución.

Pero esto se vuelve muy difícil. Si eliges multiplicar tu ODE por alguna función $\mu(x)$ o un $\mu(y)$ o $\mu(x,y)$ , tratando de encontrar el factor integrante, nada cancela y te quedas integrando algo que no se puede integrar.

También traté de multiplicar la ODE por $x^\alpha y^\beta$ (porque originalmente pensé que $N$ y $M$ eran sumas de productos de potencias de $x$ y $y$ , pero esto también resultó inadecuado, ya que el $a$ s en la ODE no se canceló, y te quedan dos lados de una ecuación que no puedes llegar a igualar entre sí.

Dejándome donde empecé: la zona cero. ¿Alguien tiene alguna idea sobre cómo encontrar este factor de integración?

Respuestas (4)

Resolviendo la ecuación diferencial no exacta

usuario65203 · Answer 1

La ecuación es separable,

2 a^{2} y = X (y - a) \frac{d y}{d X},

$2a^2y=x(y-a)\frac{dy}{dx},$

2 a^{2} \frac{d X}{X} = \frac{y - a}{y} d y,

$2a^2\frac{dx}{x}=\frac{y-a}{y}dy,$

2 a^{2} registro X + C = y - a registro y .

$2a^2\log x+C=y-a\log y.$

Disculpas, escribí mal la ODE, no obstante, revisaré y veré si se podrá separar de la forma en que lo hiciste.

usuario577215664 · Answer 2

es separable

a (X \frac{d y}{d X} + 2 a y) = X y \frac{d y}{d X}

$a(x\frac{dy}{dx}+2ay)=xy\frac{dy}{dx}$

a (X y^{'} + 2 a y) = X y y^{'}

$a(xy'+2ay)=xyy'$

2 a^{2} y = X y^{'} (y - a)

$2a^2y=xy'(y-a)$

2 a^{2} \int \frac{d X}{X} = \int \frac{(y - a)}{y} d y

$2a^2\int \frac {dx}x=\int \frac {(y-a)}{y}dy$

a (X \frac{d y}{d X} + 2 y) = X y \frac{d y}{d X}

$a(x\frac{dy}{dx}+2y)=xy\frac{dy}{dx}$

a (X y^{'} + 2 y) = X y y^{'}

$a(xy'+2y)=xyy'$

y^{'} X (a - y) = - 2 a y

$y'x(a-y)=-2ay$ Esta última ecuación es separable

\int \frac{a - y}{y} d y = - 2 a \int \frac{d X}{X}

$\int \frac {a-y}{y}dy=-2a\int \frac {dx}x$

Disculpas, escribí mal la ODE, no obstante, revisaré y veré si se podrá separar de la forma en que lo hiciste.
Genial, creo que estaba pensando demasiado y adelantándome con este. Gracias por tu claridad y trabajo.

Claudio Leibovici · Answer 3

A partir de la respuesta de Isham (extrayendo $y'$ de la ecuacion

\int \frac{a - y}{y} d y = - 2 a \int \frac{d X}{X}

$\int \frac {a-y}{y}dy=-2a\int \frac {dx}x$ es decir

a registro (y) - y = - 2 a registro (X) + C

$a \log(y)-y=-2a\log(x)+c$ a partir del cual

y = - a W (- \frac{{mi}^{\frac{C}{a}}}{a X^{2}})

$y=-a\, W\left(-\frac{e^{\frac{c}{a}}}{a x^2}\right)$ donde aparece la función de Lambert.

henry lee · Answer 4

a (X \frac{d y}{d X} + 2 y) = X y \frac{d y}{d X}

$a\left(x\frac{dy}{dx}+2y\right)=xy\frac{dy}{dx}$ podemos ver un factor común de

x \frac{d y}{d x}

$x\frac{dy}{dx}$ por lo que podemos obtener:

X \frac{d y}{d X} (y - a) = 2 y a

$x\frac{dy}{dx}\left(y-a\right)=2ya$ entonces:

\int \frac{y - a}{2 y a} d y = \int \frac{1}{X} d X

$\int\frac{y-a}{2ya}dy=\int\frac1xdx$ entonces:

2 en | X | = \int (\frac{1}{a} - \frac{1}{y}) d y

$2\ln|x|=\int\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{y}\right)dy$

2 en | X | = \frac{y}{a} - en | y | + C

$2\ln|x|=\frac{y}{a}-\ln|y|+C$

X^{2} y = {mi}^{\frac{y}{a} + C}

$x^2y=e^{\frac{y}{a}+C}$

X = \sqrt{y^{- 1} {mi}^{\frac{y + C_{1}}{a}}}

$x=\sqrt{y^{-1}e^{\frac{y+C_1}{a}}}$ y esto se puede usar para resolver la función Lambert W: https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

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