¿Es correcta mi solución ODE de segundo orden?

X y ″ + 2 y ′ − X y = mi X

Ahora, resolví la ecuación homogénea correctamente usando reducción de orden, incluso verifiqué mi solución en wolframalpha.

y h = mi X C 1 X + mi − X C 1 X

Sin embargo, a continuación traté de encontrar la solución particular usando la variación de parámetros.

Calculé que el wronskiano es

W = − 2 X 2

y eso

W 1 = − 1 X 2
y
W 2 = mi 2 X X 2

Esto significa que C 1 ′ = 1 2 y C 2 ′ = − mi 2 X 2 .

De modo que

C 1 = X 2 + k 1
C 2 = − mi 2 X 4 + k 2

Al enchufar esto en mi solución, obtengo que

k 1 mi X X + k 2 mi − X X + mi X 2 − mi X 4 X

Sin embargo, la solución WolframAlpha es

k 1 mi X X + k 2 mi − X X + mi X 2

¿Qué hice mal? Traté de encontrar mi error, así que no puedo descartar un error cometido por falta de concentración, pero en serio no puedo encontrarlo.

Respuestas (3)

X y ″ + 2 y ′ − X y = mi X
Es más fácil reescribir la ecuación diferencial como:
( X y ) ″ − X y = mi X
Sustituto z = X y :
z ″ − z = mi X
Luego use la variación de parámetros.

Observe que en su respuesta, el primer y el último término se pueden combinar en un solo término, que es exactamente la solución de WolframAlpha. ( k 1 − 1 4 es solo una constante)

Estoy seguro de que estoy cometiendo un error colosal en alguna parte, pero cuando combino las fracciones obtengo mi X ( 2 X − 1 ) 4 X

No cometiste ningún error.

Como mencionó Left Hand, el término − mi X 4 X ya aparece en la solución de la ecuación homogénea, por lo que se pueden combinar para formar la solución general

y ( X ) = C 1 mi X X + C 2 mi − X X + mi X 2 − mi X 4 X
= ( C 1 − 1 4 ) mi X X + C 2 mi − X X + mi X 2
= k 1 mi X X + k 2 mi − X X + mi X 2 = y h ( X ) + y pag ( X )

dónde k 1 = C 1 − 1 4 y k 2 = C 2 son constantes.

De hecho ya que tenemos y 1 ( X ) = mi X X para una solución de la ecuación homogénea entonces

X y 1 ″ + 2 y 1 ′ − X y 1 = 0

pero el término − mi X 4 X = − 1 4 y 1 ( X ) y reemplazando en la ecuación tenemos

X ( − 1 4 y 1 ″ ) + 2 ( − 1 4 y 1 ′ ) − X ( − 1 4 y 1 ) = 0.

Así que el término − mi X 4 X no tiene ningún efecto sobre el problema no homogéneo y la solución particular es

y pag ( X ) = mi X 2 .

Nota: Ambos

y ( X ) = C 1 mi X X + C 2 mi − X X + mi X 2 − mi X 4 X

y

y ( X ) = k 1 mi X X + k 2 mi − X X + mi X 2

son soluciones correctas, pero si la pregunta dice que necesita simplemente en la medida de lo posible, escribiría

y ( X ) = k 1 mi X X + k 2 mi − X X + mi X 2

¿Es correcta mi solución ODE de segundo orden?
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