Soluciones a ecuaciones geodésicas en el espacio AdS3

Question

Soluciones a ecuaciones geodésicas en el espacio AdS3

Cyphox32

Estoy luchando con una tarea de mi profesor, me ha pedido que calcule numéricamente (mathematica) y analíticamente soluciones para la trayectoria de una partícula puntual en el espacio AdS3 con coordenadas globales dadas por métrica

d s^{2} = R^{2} (- {aporrear}^{2} (ρ) d t^{2} + d ρ^{2} + {pecado}^{2} (ρ) d ϕ^{2})

$ds^2=R^2(-\cosh^2(\rho)dt^2+d\rho^2+\sinh^2(\rho)d\phi^2)$ Calculé tres ecuaciones geodésicas de movimiento.

\ddot{ρ} + pecado (ρ) aporrear (ρ) (\dot{t} \dot{t} - \dot{ϕ} \dot{ϕ}) = 0

$\ddot{\rho}+\sinh(\rho)\cosh(\rho)(\dot{t}\dot{t}-\dot{\phi}\dot{\phi})=0$

\ddot{ϕ} + bata (ρ) \dot{ρ} \dot{ϕ} = 0

$\ddot{\phi}+\coth(\rho)\dot{\rho}\dot{\phi}=0$

\ddot{t} + bronceado (ρ) \dot{ρ} \dot{t} = 0

$\ddot{t}+\tanh(\rho)\dot{\rho}\dot{t}=0$

Me doy cuenta de que están acoplados, pero honestamente no tengo ni idea de cómo voy a encontrar $\rho(\tau)$ , $t(\tau)$ y $\phi(\tau)$ .

secavara

Primero, creo que es posible que falten algunos factores de 2 en el

ϕ

$\phi$ y

t

$t$ ecuaciones

secavara

En segundo lugar, un caso que se puede resolver fácilmente es cuando

ρ

$\rho$ está arreglado.

Cyphox32

Hola Secavara, ¿podrías dar más detalles?

secavara

Oh, hice algunos garabatos para que pudiera estar equivocado, pero para

ϕ

$\phi$ y

t

$t$ Obtuve

\ddot{ϕ} + 2 \coth (ρ) \dot{ρ} \dot{ϕ} = 0

$\ddot{\phi}+2\coth(\rho) \dot{\rho} \dot{\phi} = 0$ y

\ddot{t} + 2 \tanh (ρ) \dot{ρ} \dot{t} = 0

$\ddot{t}+2\tanh(\rho) \dot{\rho} \dot{t} = 0$ . Y luego observe que si tomamos

\dot{ρ} = 0

$\dot{\rho} = 0$ , entonces podemos encontrar algunas geodésicas fácilmente.

secavara

En ese caso,

t = a + b τ

$t=a+b\tau$ y

ϕ = c \pm b τ

$\phi=c \pm b\tau$ .

Respuestas (1)

Soluciones a ecuaciones geodésicas en el espacio AdS3

Primero, creo que es posible que falten algunos factores de 2 en el $\phi$ y $t$ ecuaciones
En segundo lugar, un caso que se puede resolver fácilmente es cuando $\rho$ está arreglado.
Oh, hice algunos garabatos para que pudiera estar equivocado, pero para $\phi$ y $t$ Obtuve $\ddot{\phi}+2\coth(\rho) \dot{\rho} \dot{\phi} = 0$ y $\ddot{t}+2\tanh(\rho) \dot{\rho} \dot{t} = 0$ . Y luego observe que si tomamos $\dot{\rho} = 0$ , entonces podemos encontrar algunas geodésicas fácilmente.

Dr. Ikjyot Singh Kohli · Answer 1

Suponiendo que sus ecuaciones sean correctas (no las he verificado), pero las ODE acopladas como esta (y las ecuaciones geodésicas en general) deben resolverse numéricamente. El truco es emplear los solucionadores estándar de Runge-Kutta, es más conveniente tratar con sistemas de primer orden. En general, dadas las ecuaciones geodésicas:

$\ddot{x}^{a} + \Gamma^{a}_{bc} \dot{x}^{b} \dot{x}^{c} = 0$ ,

podemos escribirlos como un sistema de primer orden:

$\dot{x}^{a} = v^{a}$ , $\dot{v}^{a} = - \Gamma^{a}_{bc} v^{b} v^{c}$

Entonces, para su sistema anterior, defina $x^{a} = \dot{\rho}^{a}$ , $y^{a} = \dot{\phi}^{a}$ , y $z^{a} = \dot{t}^{a}$ . Luego, junto con las ecuaciones restantes, tiene un sistema 6-D, de primer orden, y las soluciones dependerán de especificar 6 de tales condiciones iniciales.

Espero que esto ayude.

Difícilmente es un "truco" emplear solucionadores RK, ya que se encuentran entre los más populares y, a menudo, son los "a los que se recurre" antes de recurrir a métodos más elaborados.
@JamalS, creo que te tomaste mi oración demasiado literalmente. Los solucionadores de RK no funcionan de forma nativa en ODE de segundo orden, el "truco" es escribir ODE de segundo orden como ODE de primer orden y luego aplicar los métodos RK.
@Dr.IkjyotSinghKohli He logrado un progreso sustancial en mi problema, sin embargo, tengo problemas para especificar las condiciones iniciales que conducen a una solución estable de acuerdo con el solucionador que estoy usando. Gracias
@Cyphox32 hola. Sí. Esto es frecuentemente un problema en tales aplicaciones numéricas. Es posible que desee ver el uso de MATLAB/Octave/NumPY/SciPy en Python para este tipo de cosas. MATLAB tiene solucionadores numéricos muy potentes: ODe23s OdE45, etc. y es más fácil experimentar con condiciones iniciales.

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