Ecuación geodésica y normalización de 4 velocidades

La pregunta es pedirle que demuestre que$u_\mu u^\mu$no cambiará a medida que se mueva a lo largo de una geodésica. Si esto es trivial o no, depende de cómo lo demostraste exactamente.$\frac{dx^\mu}{d\tau}$, y tenga cuidado porque la ecuación geodésica no es invariante bajo reparametrización arbitraria. En otras palabras, si en lugar del tiempo adecuado te apetece usar una función extraña$\lambda(\tau)$como parámetro,$v^\mu = \frac{dx^\mu}{d\lambda}$no satisfará la misma ecuación geodésica. Seguirá siendo transportado en paralelo, pero con una derivada covariante igual a un múltiplo de sí mismo:

$$v^\mu \nabla_\mu v^\nu = \kappa(\lambda)v^\nu$$

Una vez más, los detalles dependen de cómo haya probado todo exactamente. La forma estándar que conozco es definir una geodésica como una curva que transporta paralelamente su vector tangente, es decir, satisface la ecuación anterior para$v^\mu$. Luego muestra que puede repararmetrizar para que el lado derecho se convierta en cero, y luego muestra lo que pregunta su pregunta: si el RHS es cero, el cuadrado del vector tangente es constante. Esto le permite elegir el parámetro para que$u_\mu u^\mu = -1$, es decir, su curva ahora está parametrizada por la longitud del arco, es decir, el tiempo adecuado.

Por cierto, tenga cuidado con la distinción entre vector tangente y cuatro velocidades. Puede definir un vector tangente para cualquier curva utilizando cualquier parámetro, pero las cuatro velocidades solo se definen para curvas temporales y utilizando el tiempo adecuado como parámetro para que se normalice. Esto es relevante para la segunda parte de su ecuación: si su curva es una geodésica y$u^\mu$es cualquier vector tangente,$u^\mu/|u|$satisface la ecuación geodésica con RHS igual a cero pero$u^\mu$es general satisface la ecuación geodésica que escribí arriba.