Demostrando: Ω=GM−−−−√r−3/2Ω=GMr−3/2\Omega =\sqrt{GM}r^{-3/2} para el espacio-tiempo de Schwarzchild

Question

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Kindaichi joven

Si $\Omega =u^{\phi}/u^t$ , estoy tratando de demostrar que

Ω = \sqrt{GRAMO METRO} r^{- 3 / 2}

$\Omega=\sqrt{GM}r^{-3/2}$ para el espacio-tiempo de Schwarzchild. Aquí,

u^{ϕ}

$u^{\phi}$ y

u^{t}

$u^t$ son respectivamente la componente contravariante azimutal y temporal de la velocidad.

Empecé escribiendo la métrica

- C^{2} d τ^{2} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) C^{2} d t^{2} + {(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} {gramo}_{Ω}

$-c^2d\tau^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2+\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2g_\Omega$ dónde

g_{Ω} = d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2}

$g_\Omega=d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2$ . Desde

Ω = \frac{{tu}^{ϕ}}{{tu}^{t}} = \frac{pecado θ d ϕ / d τ}{C d t / d τ} = \frac{pecado θ}{C} \frac{d ϕ}{d t}

$\Omega =\frac{u^\phi}{u^t}=\frac{\sin\theta d\phi/d\tau}{cdt/d\tau}=\frac{\sin\theta}{c}\frac{d\phi}{dt}$ Por lo tanto,

{gramo}_{Ω} = d θ^{2} + Ω^{2} d t^{2}

$g_\Omega=d\theta^2+\Omega^2dt^2$ O,

- C^{2} d τ^{2} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) C^{2} d t^{2} + {(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + Ω^{2} d t^{2})

$-c^2d\tau^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2+\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2\left(d\theta^2+\Omega^2dt^2\right)$ No estoy seguro, ¿Qué hacer ahora? ¿Alguien puede dar una pista, cómo puedo proceder?

mis2cts

El nombre se escribe Schwarzschild.

Michael Seifert

La pregunta no tiene mucho sentido tal como la publicaste. Los componentes de coordenadas

u^{ϕ}

$u^\phi$ y

u^{t}

$u^t$ porque la velocidad cuádruple de alguna partícula puede (básicamente) especificarse libremente. No hay ninguna razón por la que deban obedecer una igualdad relacionada con la posición de las coordenadas de la partícula a menos que haya alguna suposición sobre el movimiento que no ha proporcionado aquí.

Kindaichi joven

@MichaelSeifert Tiene razón, no estoy muy familiarizado con las matemáticas de la relatividad general y mi enfoque lo refleja. Si me pueden ayudar, sería muy bueno.

Respuestas (2)

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La pregunta no tiene mucho sentido tal como la publicaste. Los componentes de coordenadas $u^\phi$ y $u^t$ porque la velocidad cuádruple de alguna partícula puede (básicamente) especificarse libremente. No hay ninguna razón por la que deban obedecer una igualdad relacionada con la posición de las coordenadas de la partícula a menos que haya alguna suposición sobre el movimiento que no ha proporcionado aquí.
@MichaelSeifert Tiene razón, no estoy muy familiarizado con las matemáticas de la relatividad general y mi enfoque lo refleja. Si me pueden ayudar, sería muy bueno.

Ren · Answer 1

Debes considerar cómo entra en juego la masa (es decir, pensar en una cantidad que depende de la masa), luego pensar en qué relaciona las propiedades de la materia con las propiedades de la geometría del espacio-tiempo.

BarreraEliminación · Answer 2

Como se busca más información sobre la velocidad, ahora procedería a escribir las ecuaciones geodésicas: $\frac{d^2x^{\mu}} {ds^2} +\Gamma^{\mu} _{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha} {ds}\frac{dx^\beta} {ds} =0$

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Kindaichi joven

mis2cts

Michael Seifert

Kindaichi joven

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Ren

BarreraEliminación

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