Equivalencia de la ecuación geodésica y la ecuación de continuidad para el tensor de energía-momento

Question

Equivalencia de la ecuación geodésica y la ecuación de continuidad para el tensor de energía-momento

Física
geodésicas
leyes-de-conservacion
relatividad general
deberes-y-ejercicios
tensión-energía-momentum-tensor

jac

Estoy atascado con un ejercicio en Spacetime and Geometry de Sean Carroll (Capítulo 4, Ejercicio 3). El objetivo es mostrar que la continuidad del tensor energía-momento, es decir

\begin{matrix} (1) & \nabla_{m} T^{m v} = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\tag{1} \end{equation}$ es equivalente a la ecuación geodésica en el caso de una partícula libre. El tensor energía-momento de una partícula libre con masa

m

$m$ moviéndose a lo largo de su línea de tiempo

x^{μ} (τ)

$x^\mu (\tau )$ es

\begin{matrix} (2) & T^{m v} (y^{σ}) = metro \int d τ \frac{d^{(4)} (y^{σ} - X^{σ} (τ))}{\sqrt{- gramo}} \frac{d X^{m}}{d τ} \frac{d X^{v}}{d τ} . \end{matrix}

$\begin{equation} T^{\mu\nu}(y^\sigma)=m\int d \tau \frac{\delta^{(4) }(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}.\tag{2} \end{equation}$ Tomando la derivada covariante de este tensor da

\begin{aligned} \nabla_{m} T^{m v} = & metro \int d τ \nabla_{m} [\frac{d^{(4)} (y^{σ} - X^{σ} (τ))}{\sqrt{- gramo}}] \frac{d X^{m}}{d τ} \frac{d X^{v}}{d τ} \\ (3) & + metro \int d τ \frac{d^{(4)} (y^{σ} - X^{σ} (τ))}{\sqrt{- gramo}} \nabla_{m} [\frac{d X^{m}}{d τ} \frac{d X^{v}}{d τ}] . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla_\mu T^{\mu\nu}=&m\int d \tau \nabla_\mu\left[ \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\right]\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}\cr &+m\int d \tau \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\nabla_\mu\left[\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}\right].\tag{3} \end{align}$ La primera derivada covariante del lado derecho de la ecuación anterior se reduce a una derivada parcial ordinaria, ya que el argumento es un escalar. Esto nos permite aplicar la integración parcial a este término. La segunda derivada covariante tiene un argumento que no depende explícitamente de

y^{σ}

$y^\sigma$ , por lo que la derivada covariante se puede escribir como una multiplicación de este tensor con los símbolos de Christoffel apropiados. Esto finalmente nos lleva a

\begin{aligned} - metro \int d τ \frac{d^{(4)} (y^{σ} - X^{σ} (τ))}{\sqrt{- gramo}} \frac{d^{2} X^{v}}{d τ^{2}} \\ (4) & + metro \int d τ \frac{d^{(4)} (y^{σ} - X^{σ} (τ))}{\sqrt{- gramo}} [Γ_{m σ}^{m} \frac{d X^{σ}}{d τ} \frac{d X^{v}}{d τ} + Γ_{m σ}^{v} \frac{d X^{m}}{d τ} \frac{d X^{σ}}{d τ}] . \end{aligned}

$\begin{align} &-m\int d \tau \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\frac{d^2x^\nu}{d\tau^2} \cr &+ m\int d \tau \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\left[ \Gamma^\mu_{\mu\sigma}\frac{dx^\sigma}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} + \Gamma^\nu_{\mu\sigma}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau} \right].\tag{4} \end{align}$ La ecuación de continuidad requiere

\begin{matrix} (5) & - \frac{d^{2} X^{v}}{d τ^{2}} + Γ_{m σ}^{m} \frac{d X^{σ}}{d τ} \frac{d X^{v}}{d τ} + Γ_{m σ}^{v} \frac{d X^{m}}{d τ} \frac{d X^{σ}}{d τ} = 0. \end{matrix}

$\begin{equation} -\frac{d^2x^\nu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\mu\sigma}\frac{dx^\sigma}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} + \Gamma^\nu_{\mu\sigma}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau}=0.\tag{5} \end{equation}$ Esta es la ecuación geodésica con un término adicional, es decir, el término en el medio y con un signo incorrecto para el primer término. ¿Puedo deshacerme de este término en el medio cambiando el parámetro?

τ

$\tau$ de la linea del mundo? ¿Qué pasa con el signo incorrecto? ¿Qué hice mal?

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/39526/2451

jac

@Qmechanic Ya había estudiado la pregunta relacionada, pero realmente no me está ayudando. Además de eso, hay errores en la respuesta.

Brian polillas

Por que es

\nabla_{μ} [\frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ}]

$\nabla_\mu \left[\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \dfrac{dx^\nu}{d \tau} \right]$ no es igual a cero ya que la expresión entre paréntesis no depende de

y^{μ}

$y^\mu$ ? Creo que estás haciendo algún truco que no entiendo con la "integración por partes". Lo único que depende de

y^{μ}

$y^\mu$ es la pieza con la función delta. hubiera hecho algo como

\frac{d x^{μ}}{d τ} \nabla_{μ} \to \frac{d}{d τ}

$\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \nabla_\mu \to \dfrac{d}{d\tau}$ y se fue de allí. Sin embargo, no estoy seguro de cómo funcionan los detalles.

jac

@NowIGet... No estoy diciendo eso

\frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ}

$\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}$ es cero Una derivada covariante se puede escribir como la suma de una derivada parcial común y una serie de términos que involucran símbolos de Christoffel. Acabo de decir que la derivada parcial es 0. Esto se debe a que la derivada covariante es una derivada relativa a la variable

y^{σ}

$y^\sigma$ .

Brian polillas

Ok, creo que lo que estuvo mal con lo que hiciste es cuando hiciste la integración por partes, golpeaste

{\dot{x}}^{ν}

$\dot{x}^\nu$ con

\frac{\partial}{\partial τ}

$\dfrac{\partial}{\partial \tau}$ , pero te olvidaste de golpear

\frac{1}{\sqrt{- g}}

$\dfrac{1}{\sqrt{-g}}$ . Esto debería darle una

Γ

$\Gamma$ para cancelar el otro extra

Γ

$\Gamma$ , pero no estoy seguro.

Respuestas (2)

Equivalencia de la ecuación geodésica y la ecuación de continuidad para el tensor de energía-momento

@Qmechanic Ya había estudiado la pregunta relacionada, pero realmente no me está ayudando. Además de eso, hay errores en la respuesta.
Por que es $\nabla_\mu \left[\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \dfrac{dx^\nu}{d \tau} \right]$ no es igual a cero ya que la expresión entre paréntesis no depende de $y^\mu$ ? Creo que estás haciendo algún truco que no entiendo con la "integración por partes". Lo único que depende de $y^\mu$ es la pieza con la función delta. hubiera hecho algo como $\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \nabla_\mu \to \dfrac{d}{d\tau}$ y se fue de allí. Sin embargo, no estoy seguro de cómo funcionan los detalles.
@NowIGet... No estoy diciendo eso $\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}$ es cero Una derivada covariante se puede escribir como la suma de una derivada parcial común y una serie de términos que involucran símbolos de Christoffel. Acabo de decir que la derivada parcial es 0. Esto se debe a que la derivada covariante es una derivada relativa a la variable $y^\sigma$ .
Ok, creo que lo que estuvo mal con lo que hiciste es cuando hiciste la integración por partes, golpeaste $\dot{x}^\nu$ con $\dfrac{\partial}{\partial \tau}$ , pero te olvidaste de golpear $\dfrac{1}{\sqrt{-g}}$ . Esto debería darle una $\Gamma$ para cancelar el otro extra $\Gamma$ , pero no estoy seguro.

qmecanico · Answer 1

Solo tenga cuidado con qué cantidad depende de qué argumento, cf. comentario anterior del usuario NowIGetToLearnWhatAHeadIs. Entonces funciona como un encanto:

\begin{aligned} \nabla_{m}^{(y)} T^{m v} (y) = & \partial_{m}^{(y)} T^{m v} (y) + Γ_{m λ}^{m} (y) T^{λ v} (y) + Γ_{m λ}^{v} (y) T^{m λ} (y) \\ = & \frac{1}{\sqrt{- gramo (y)}} \partial_{m}^{(y)} (\sqrt{- gramo (y)} T^{m v} (y)) + Γ_{m λ}^{v} (y) T^{m λ} (y) \\ \overset{(2)}{=} & \frac{metro}{\sqrt{- gramo (y)}} \int_{τ_{i}}^{τ_{F}} d τ {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m} \partial_{m}^{(y)} d^{4} (y - X (τ)) + Γ_{m λ}^{v} (y) T^{m λ} (y) \\ = & - \frac{metro}{\sqrt{- gramo (y)}} \int_{τ_{i}}^{τ_{F}} d τ {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{m} \partial_{m}^{(X)} d^{4} (y - X (τ)) + Γ_{m λ}^{v} (y) T^{m λ} (y) \\ = & - \frac{metro}{\sqrt{- gramo (y)}} \int_{τ_{i}}^{τ_{F}} d τ {\dot{X}}^{v} \frac{d}{d τ} d^{4} (y - X (τ)) + Γ_{m λ}^{v} (y) T^{m λ} (y) \\ \overset{En t. por partes}{=} & \frac{metro}{\sqrt{- gramo (y)}} \int_{τ_{i}}^{τ_{F}} d τ {\ddot{X}}^{v} d^{4} (y - X (τ)) + Γ_{m λ}^{v} (y) T^{m λ} (y) \\ - \frac{metro}{\sqrt{- gramo (y)}} {[{\dot{X}}^{v} d^{4} (y - X (τ))]}_{τ = τ_{i}}^{τ = τ_{F}} \\ \overset{(2)}{=} & \frac{metro}{\sqrt{- gramo (y)}} \int_{τ_{i}}^{τ_{F}} d τ \underset{ecuación geodésica}{\underset{⏟}{{{\ddot{X}}^{v} + Γ_{m λ}^{v} (X (τ)) {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{λ}}}} d^{4} (y - X (τ)) \\ - \frac{metro}{\sqrt{- gramo (y)}} {[{\dot{X}}^{v} d^{4} (y - X (τ))]}_{τ = τ_{i}}^{τ = τ_{F}} \\ \overset{ecuación geodésica}{=} & - \frac{metro}{\sqrt{- gramo (y)}} \underset{términos fuente}{\underset{⏟}{{[{\dot{X}}^{v} d^{4} (y - X (τ))]}_{τ = τ_{i}}^{τ = τ_{F}}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla^{(y)}_{\mu} T^{\mu\nu}(y) ~=~& \partial^{(y)}_{\mu} T^{\mu\nu}(y) ~+~\Gamma^{\mu}_{\mu\lambda}(y) T^{\lambda\nu}(y) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{-g(y)}}\partial^{(y)}_{\mu} \left(\sqrt{-g(y)}T^{\mu\nu}(y)\right) +\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\mu}\partial^{(y)}_{\mu}\delta^4(y\!-\!x(\tau )) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~=~&-\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\mu}\partial^{(x)}_{\mu}\delta^4(y\!-\!x(\tau )) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~=~&-\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\dot{x}^{\nu} \frac{d}{d\tau}\delta^4(y\!-\!x(\tau )) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr \stackrel{\text{int. by parts}}{=}&~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\ddot{x}^{\nu} \delta^4(y\!-\!x(\tau)) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y)\cr &~-~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}}\left[\dot{x}^{\nu}\delta^4(y\!-\!x(\tau))\right]_{\tau=\tau_i}^{\tau=\tau_f} \cr ~~~~~~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau\underbrace{\left\{\ddot{x}^{\nu}+ \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(x(\tau))\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\lambda} \right\}}_{\text{geodesic eq.}}\delta^4(y\!-\!x(\tau ))\cr &~-~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}}\left[\dot{x}^{\nu}\delta^4(y\!-\!x(\tau))\right]_{\tau=\tau_i}^{\tau=\tau_f}\cr \stackrel{\text{geodesic eq.}}{=}&~~-~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}}\underbrace{\left[\dot{x}^{\nu}\delta^4(y\!-\!x(\tau))\right]_{\tau=\tau_i}^{\tau=\tau_f}}_{\text{source terms}}. \end{align}$ Los términos fuente naturalmente rompen la ecuación de continuidad (1) porque corresponden a la creación y aniquilación de energía-momento de una partícula. Lejos de los términos fuente de creación y aniquilación, la ecuación de continuidad (1) debe cumplirse, lo que luego impone la ecuación geodésica .

◻

$\Box$

Claro para mí ahora. Gracias. La identidad $\Gamma^\mu_{\mu \sigma}=\frac {1}{\sqrt{-g}}\partial_\sigma \left( \sqrt{-g} \right)$ era el eslabón perdido en mi razonamiento.
@Qmechanic Gracias por responder. Si tratamos de obtener $\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}$ para la distribución continua de polvo, obtenemos $\nabla_{\mu}T^{\mu\nu} = (\text{continuity eqn}) + (\text{geodesics eqn})$ . Creo que su "término fuente" es una especie de ecuación de continuidad para $\delta$ -como distribución.
@Qmechanic 1. En la tercera línea/igualdad, ¿acabas de cancelar el $\sqrt{-g(y)}$ con el $\sqrt{-g}$ dentro de $T^{\mu\nu}(y)$ ¿integral? 2. ¿No es el $\sqrt{-g}$ dentro de la integral dependiente de $x$ ?
¿Hay alguna propiedad específica que esté usando que $\frac{1}{F (y)} \int F (X) gramo (X) d (X - y) d X = \int gramo (X) d (X - y) d X$ $\frac{1}{f(y)}\int f(x)g(x)\delta(x-y)\, dx=\int g(x)\delta(x-y)\, dx$ ¿o algo así?

mike piedra · Answer 2

Hay una ruta mucho más fácil hacia la ecuación geodésica: considere una nube de partículas de polvo que no interactúan con la densidad de masa adecuada $\rho_0$ y cuatro velocidades comunes $u^\mu$ . Ellos tienen

T^{m v} = ρ_{0} {tu}^{m} {tu}^{v} .

$T^{\mu\nu}= \rho_0 u^\mu u^\nu.$ La conservación de energía-momento dice que

0 = \nabla_{m} T^{m v} = ρ_{0} {tu}^{m} \nabla_{m} {tu}^{v} + {tu}^{v} \nabla_{m} (ρ_{0} {tu}^{m}) .

$0 = \nabla_\mu T^{\mu\nu} = \rho_0 u^\mu\nabla_\mu u^\nu + u^\nu \nabla_\mu(\rho_0 u^\mu).$ El segundo término es cero por conservación de partículas, y el primero es la ecuación geodésica.

El argumento de Carroll es equivalente a este, pero complicado por su necesidad de introducir funciones delta para aislar una sola partícula.

Ah, acabo de ver el comentario de Sergio.

Equivalencia de la ecuación geodésica y la ecuación de continuidad para el tensor de energía-momento

jac

qmecanico

jac

Brian polillas

jac

Brian polillas

Respuestas (2)

qmecanico

jac

qmecanico

sergi

Nadaham

qmecanico

Nadaham

qmecanico

Nadaham

mike piedra

Ecuación geodésica de la conservación de energía-momento

Soluciones a ecuaciones geodésicas en el espacio AdS3

Derivación de la ecuación de desviación geodésica de dos geodésicas vecinas

¿Las geodésicas de resolver ecuaciones de campo completo son las mismas que la ruta del tensor de energía-momento?

¿Cómo encontrar las geodésicas nulas?

Cálculo de los símbolos de Christoffel con la ecuación geodésica

Ecuación geodésica y normalización de 4 velocidades

¿Qué tan cerca puede un observador acercarse al agujero negro en un sobrevuelo sin motor sin caer en él?

Geodésicas nulas en métrica de campo gravitatorio uniforme

Demostrando: Ω=GM−−−−√r−3/2Ω=GMr−3/2\Omega =\sqrt{GM}r^{-3/2} para el espacio-tiempo de Schwarzchild