Trazado de rayos en relatividad general

Me gustaría saber qué se vería en el radio de Schwarzschild de un agujero negro masivo que no gira, si el agujero negro está rodeado por un anillo brillante.

Para eso, colocaría al observador en un cierto r 0 , θ 0 , ϕ 0 = ( R S , θ , 0 ) y mirar en cierta dirección α , β (mirando hacia afuera) y preguntar de dónde se origina un rayo de luz que termina con estos parámetros (invirtiendo el tiempo). Más específicamente, en qué radio del anillo se origina (si cruza el anillo).

Esto debería ser soluble de alguna manera usando la métrica, ya sea analítica o numéricamente, asumiendo que el gradiente del potencial es pequeño en un rango pequeño y calculando un pequeño paso en el rayo de luz.

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo obtener una fórmula para el rayo de luz con ( r , θ , ϕ ) en función del tiempo, que llega a ( r 0 , θ 0 , ϕ 0 ) desde el ángulo α , β en el momento t = 0 ?

Encontré esta conferencia GR http://eagle.phys.utk.edu/guidry/astro421/lectures/lecture490_ch9.pdf pero no da un camino de rayos de luz. También encontré el software gyoto, pero solo puede calcular la radiación para un observador lejos del agujero negro.

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Entonces seguí la derivación en https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics y entendí cómo derivar la ecuación

( d tu d φ ) 2 = 1 b 2 − ( 1 − tu r s ) ( 1 a 2 + tu 2 )

El lado derecho del cual se puede escribir como un polinomio de tercer orden, cuyas raíces puedo determinar.

Aún no me quedan claras varias cosas:

  • ¿Cómo saltan repentinamente a la "función de amplitud sinusal" como solución? tu ( φ ) para la ecuación orbital fundamental?
  • Si tu 1 , tu 2 son las raíces conjugadas (números complejos), y tu 3 es la raíz real, entonces la ecuación
    tu = tu 1 + ( tu 2 − tu 1 ) s norte 2 ( 1 2 φ r s ( tu 3 − tu 1 ) + d )
    tendrá un argumento complejo tu 3 − tu 1 , que es incompatible con la función sn?
  • como paso de tu ( φ ) a tu ( τ ) o tu ( t ) ? Creo que debería haber múltiples soluciones para un solo phi, por ejemplo, en el procesamiento de órbitas.
  • como elijo a y b ? Creo a es como un momento angular y está relacionado con el potencial inicial. b está relacionado con el radio más cercano?
Sugerencia para @WetSavannaAnimalakaRodVance y otros editores: solo agregue res. recomendado etiqueta si esa es la única pregunta de OP. (Está implícitamente implícito que cada OP solicita res. recom.) Pure res. recomendado Las preguntas están restringidas.

Respuestas (1)

El rayo de luz en la relatividad general viaja a lo largo de la geodésica nula, que está determinada por la ecuación simple

gramo m v ( X ) d X m d τ d X v d τ = 0 ,

dónde gramo m v en tu caso es la métrica de Schwarzschild. Usando esta ecuación y la condición inicial (ángulo α ) debería poder rastrear su rayo de luz en el tiempo y restaurar su posición inicial en cualquier t .

Hay una pequeña sutileza: el parámetro de evolución ( τ ) es arbitraria, lo que significa que la ecuación anterior tiene múltiples soluciones. Esto se debe a la invariancia de reparametrización, que es la simetría de calibre de la partícula relativista. Para recibir respuestas definitivas, puede utilizar el τ = t = X 0 indicador (simplemente diciendo que su τ es el tiempo físico de un observador en el infinito).

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Está bien, responderé a sus preguntas.

  1. El s norte la función es la solución de la ecuación diferencial anterior

  2. ¿Por qué? s norte se define en el plano complejo, hasta donde yo sé.

  3. tu no Esta ecuación te dice cómo tu = 1 / r depende de ϕ .

  4. a y b son los parámetros que debes fijar con tus condiciones iniciales.

Pero no veo por qué necesitas esas ecuaciones. ¿La forma de una órbita de un planeta? ¿Pensé que necesitabas rastrear el rayo de luz en el tiempo? ¿Por qué no hiciste lo que sugerí en esta respuesta?

Hola @Hindsight, ¿podría echar un vistazo a la pregunta actualizada y ampliar su respuesta?
La ecuación que escribiste no es la ecuación geodésica, es solo una declaración de que la curva que sigue la partícula es nula. Aún necesita resolver la ecuación geodésica para determinar la trayectoria de la partícula.
La ecuación geodésica de @asperanz no es aplicable aquí, ya que utiliza la parametrización en tiempo adecuado que se descompone en el límite sin masa.
Eso no es correcto. La ecuación geodésica sigue siendo válida para las geodésicas nulas, sin embargo, no utiliza el tiempo adecuado para parametrizar la geodésica. En general, hay una clase especial de parámetros para geodésicas nulas llamados parámetros afines para los cuales la ecuación geodésica k m ∇ m k α = 0 sostiene Para un parámetro arbitrario, la ecuación modificada es k m ∇ m k α = k k α .
@asperanz exactamente (es solo que no he escuchado el término 'ecuación geodésica' aplicado a las geodésicas sin masa hasta ahora). Pero parece que j13r usa la parametrización de tiempo adecuado, por lo que su intento está condenado.
Hola @Hindsight, gracias por tus adiciones. No entiendo cómo sugieres que puedo usar la ecuación geodésica para rastrear el rayo en el tiempo. Si uso pequeños pasos de Δ τ , entonces tengo una suma de 4 incógnitas (x, y, z, t), o, invocando la simetría, tres (r, \phi, t), pero solo una ecuación. Creo que el camino que tomé es encontrar soluciones explícitas para egr
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