Geodésicas nulas en métrica de campo gravitatorio uniforme

La métrica lee, restaurando$c$,

$$\mathrm{ds}^2 = -(1+gz/c^2)^2 c^2\mathrm{dt}^2 + \mathrm{dz}^2 + \mathrm{dx}^2\:.$$ La métrica se puede utilizar para determinar las geodésicas por medio del Lagrangiano cuadrático asociado $$L = -(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}^2 + \dot{z}^2 +\dot{x}^2\tag{0}$$ donde el punto denota la derivada con respecto al parámetro afín $s$.

NB El lagrangiano más habitual

$$L = \sqrt{|-(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}^2 + \dot{z}^2 +\dot{x}^2|}$$ no es adecuado aquí ya que no determina las geodésicas similares a la luz, mientras que (0) determina todos los tipos de geodésicas, ya escritas también en función de un parámetro afín.

El caso de un fotón vertical (y un objeto masivo vertical)

Primero considero el caso de un fotón cuya historia se describe en el plano$t,z$. En otras palabras, se trata de fotones verticales, siendo la dirección vertical la del campo gravitatorio,$z$.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange de Lagrangian (0) producen,

$$-\frac{d}{ds} (1+gz/c^2)^2 \frac{dt}{ds}=0\tag{1}$$ y $$\frac{d}{ds} \frac{dz}{ds}=-(1+gz/c^2)g\left(\frac{dt}{ds}\right)^2\:.\tag{2}$$ Lo anterior implica $$(1+gz/c^2)^2\frac{dt}{ds}=T\:,\tag{2'}$$ de modo que, suponiendo $T > 0$como debe ser para las geodésicas causales dirigidas al futuro, $$\frac{d}{ds}= \frac{T}{(1+gz/c^2)^2}\frac{d}{dt}\:.$$ Utilizándolo en (2) tenemos $$\frac{T}{(1+gz/c^2)^2}\frac{d}{dt} \frac{T}{(1+gz/c^2)^2 }\frac{d}{dt} z = -(1+gz/c^2) g\left(\frac{T}{(1+gz/c^2)^2}\right)^2$$ que simplifica a $$\frac{d^2z}{dt^2} = 2 \frac{g}{c^2(1+gz/c^2)}\left(\frac{dz}{dt}\right)^2- (1+gz/c^2) g\:.$$ Ves que en régimen no relativista, es decir, $|gz|<< c^2$y $\left(\frac{dz}{dt}\right)^2<< c^2$, la ecuación para $z=z(t)$se puede aproximar con la ecuación newtoniana $$\frac{d^2z}{dt^2} =-g$$ como se esperaba para objetos masivos que evolucionan a lo largo de geodésicas similares al tiempo.

Las geodésicas similares a la luz se pueden determinar explícitamente siguiendo un camino más corto.

En primer lugar observamos que el Lagrangiano (0) no depende de$s$explícitamente. Por tanto, el teorema de Jacobi dice que la función hamiltoniana se conserva a lo largo de la solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Debido a la ausencia de cualquier término potencial en el Lagrangiano, la función hamiltoniana coincide con el propio Lagrangiano. En otras palabras

$$-(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}(s)^2 + \dot{z}(s)^2 +\dot{x}(s)^2= constant\tag{3}$$ a lo largo de geodésicas. Para geodésicas similares a la luz en el plano $t,z$tenemos en particular $$-(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}(s)^2 + \dot{z}(s)^2 = 0$$ porque $L$no es más que la norma lorentziana al cuadrado del vector tangente, de modo que $$(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}(s)^2 = \dot{z}(s)^2\:.$$ Dado que, como se observó anteriormente, las geodésicas causales pueden ser parametrizadas por $t$(aunque no es un parámetro afín), la igualdad encontrada da como resultado $$\frac{dz}{dt} = \pm c(1+gz/c^2)$$ y por lo tanto $$\frac{dz}{1+gz/c^2} = \pm cdt \tag{4}$$ Observe que (3) también se cumple para las geodésicas similares al tiempo, pero la consiguiente ecuación diferencial de primer orden no es tan fácil de resolver como para las geodésicas similares a la luz. En cambio, la ecuación para geodésicas similares a la luz (4) se puede integrar inmediatamente produciendo $$z(t) = \left(z(0) + \frac{c^2}{g}\right) e^{\pm \frac{g}{c}t}- \frac{c^2}{g}\:.$$ Esta es la fórmula general que describe las geodésicas similares a la luz en el plano $t,z$de nuestro sistema acelerado de coordenadas. Vale la pena remarcar que hay dos tipos de geodésicas emitidas en $z(0)$para $t=0$, los que tienen el signo $-$en el exponente que se propaga (por $t>0$) hacia el horizonte de Killing, situado en $z_0 = -\frac{c^2}{g}$(dónde $g_{tt}=0$), y los que se propagan (por $t>0$) hacia $z= +\infty$. Las geodésicas de primera clase alcanzan el horizonte gastando una cantidad infinita de tiempo Killing $t$. El otro tipo de curvas se escapan al infinito con rapidez exponencial.

Resumiendo, para cuerpos masivos que evolucionan a lo largo de geodésicas temporales, la acción del campo gravitacional es similar a la clásica en el régimen no relativista. Estas partículas son "arrastradas" por el campo gravitatorio de regreso a la superficie.$z(0)$donde fueron emitidos.

La imagen resulta completamente diferente para las geodésicas similares a la luz que describen partículas de luz. Estas partículas no son "arrastradas" por el campo gravitatorio hacia la superficie.$z(0)$donde fueron emitidos. Sin embargo, este análisis es válido para partículas de luz emitidas a lo largo de la dirección del campo gravitatorio, es decir, la dirección vertical$z$.

El caso de un fotón no vertical

Finalmente, verifiquemos si existe algún efecto de arrastre para las partículas de luz si se consideran movimientos con una dirección inicial no vertical . Como el problema es rotacionalmente simétrico alrededor$z$podemos considerar el caso de$y=0$constantemente pero no constante$x$. En aras de la simplicidad, asumo de ahora en adelante$c=1$.

La ecuación para la coordenada$x$que surge del Lagrangiano (0) es trivial,$\frac{d^2x}{ds^2}=0$, de modo que

$$x= Xs\tag{5}$$
por alguna constante $X>0$. Hay otra constante aditiva que siempre puedo suponer que es $0$redefiniendo el origen de la $x$eje porque el problema es invariante bajo traslaciones en el $xy$avión. Ahora (3) para geodésicas similares a la luz produce, si se tiene en cuenta (5), $$\left(\frac{dz}{ds}\right)^2 + X^2 = (1+ gz)^2 \left(\frac{dt}{ds}\right)^2\:.$$ Eventualmente, (2') produce $$\left(\frac{dz}{ds}\right)^2 = \frac{T^2}{(1+ gz)^2}-X^2\:,$$ Eso es $$\frac{1}{g^2}\left(\frac{d(1+gz)}{ds}\right)^2 = \frac{T^2}{(1+ gz)^2}-X^2\:.$$ Definición $\zeta := (1+ gz)^2$, esta ecuación se puede reescribir como $$\left(\frac{d\zeta}{ds}\right)^2 = 4g^2( T^2 - X^2\zeta)$$ y su solución dice $$\sqrt{T^2 - X^2\zeta(s)} = gX^2s +C$$ para una constante arbitraria $C$. En otras palabras, redefinir $C$ $$\zeta(s) = \frac{T^2}{X^2} - g^2X^2(s+C)^2\:.\tag{6}$$ Haciendo uso de la definición de $\zeta$finalmente conseguimos $$z(s) = -\frac{1}{g}\pm \sqrt{\frac{T^2}{g^2X^2} - X^2(s+C)^2}\:.$$ En realidad, dado que las coordenadas que estamos empleando están definidas para $z> -1/g$solo la solucion
$$z(s) = -\frac{1}{g}+ \sqrt{\frac{T^2}{g^2X^2} - X^2(s+C)^2}\tag{7}$$ esta permitido.

Es posible parametrizar esta curva con el Killing time$t$integrando (2') ya que$(1+gz)^2 = \zeta$está ahora explícitamente dada por (6). Sin embargo, no es necesario ya que solo estamos interesados ​​en la forma de la trayectoria.

La curva (7) es una elipse en el plano$z,s$centrado en$z= -1/g$,$s=-C$y con ejes paralelos a los ejes cartesianos. Siempre podemos suponer$C=0$ya que el origen del parámetro afín es arbitrario.

La interpretación física ahora es fácil. Si emitimos nuestro fotón desde la superficie a$z=z_0> -1/g$a lo largo de la dirección$z>0$pero también con una componente horizontal de su velocidad afín$\dot{x}=X>0$en algún tiempo afín inicial$-s_0<0$, después de una cantidad finita de tiempo afín, más precisamente en$s= s_0$, el fotón vuelve a$z_0$.

Su intuición era correcta: el fotón, de hecho, es arrastrado por el campo gravitacional hacia la superficie de emisión en$z=z_0$.