Solución incorrecta: dados tres contenedores y tres bolas, ¿cuál es la posibilidad de que exactamente un contenedor esté vacío?

Me gustaría saber por qué la 'solución' que se me ocurrió es incorrecta. Di la respuesta correcta en la parte inferior.

Cada bola tiene probabilidad$\frac{1}{3}$de ir a cualquiera de los contenedores, y hay un total de$3^3=27$Formas de distribuir las bolas entre los contenedores.

Mi solución: Hay$3$formas de seleccionar el contenedor para la primera bola,$2$formas de seleccionar el contenedor para la segunda bola (porque no debe ir al contenedor seleccionado para la primera bola), y$2$formas de seleccionar el contenedor para la tercera bola (porque debe ir en cualquiera de los seleccionados antes). Esto da una probabilidad de$\frac{3\cdot 2\cdot 2}{27}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$.

Respuesta correcta:$\frac{{{3}\choose{2}}(2^3-2)}{27}=\frac{2}{3}$, porque hay${3}\choose{2}$formas de seleccionar los contenedores en los que deben ir las bolas,$2^3$maneras de poner el$3$pelotas en estos contenedores, y en$2$de esos casos todas las bolas están en el mismo contenedor.

Como escribí en la apertura, no veo qué tiene de malo el primer intento.