Probabilidad de volver al punto de partida

Así que el enunciado del problema es así:

Los puntos A, B y C se encuentran en un círculo y están dispuestos en el sentido de las agujas del reloj. Lanzamos un dado justo de 6 caras y realizamos cualquiera de las 3 operaciones siguientes en función del lanzamiento del dado.

• Mover en el sentido de las agujas del reloj: si aparece 1 o 2.
• Muévase en el sentido contrario a las agujas del reloj: si aparece 3 o 4.
• No te muevas, si aparecen 5 o 6.

Tomamos A como nuestro punto de partida. Tiramos los dados 8 veces y realizamos las operaciones en base a la tirada de dados. ¿Cuál es la probabilidad de que terminemos volviendo a A? Así es como A, B y C se encuentran en el círculo

Quiero resolver el problema considerando casos válidos de los varios posibles$3^8$casos.

Busqué el editorial para esto y decía que la respuesta era 1/3 debido a la simetría (probabilidades iguales de realizar cualquiera de las operaciones). Sin embargo, quería intentar formar los casos válidos por mí mismo y no pude alcanzar el respuesta -

Mi enfoque: llamemos cc-total a las operaciones en el sentido de las agujas del reloj | ac - operaciones totales en sentido contrario a las agujas del reloj | xx - operación total sin movimiento

Podemos tener

• Número igual de casos en sentido horario y antihorario.
• Si ac o cc es múltiplo de 3 y el otro es 0.
• Si no es múltiplo de 3 y no es igual, entonces ((cc%3) - ac) || ((ac%3) - cc) == 0 ) donde % representa el módulo que produce el resto

Mis casos válidos - (ac, cc, xx)

• (1, 1, 6) = 56
• (2, 2, 4) = 840
• (3, 0, 5) = 56
• (5, 0, 3) = 56
• (3, 3, 2) = 560
• (4, 4, 0) = 70
• (4, 1, 3) = 280
• (1, 4, 3) = 280
• (5, 2, 1) = 168
• (2, 5, 1) = 168
• (6, 0, 2) = 28
• (0, 6, 2) = 28
• (7, 1, 0) = 8
• (1, 7, 0) = 8
• (0, 0, 8) = 1

Total es igual a 2607. Cuando lo divido por$3^8$, lo obtengo como 0.397 (no exactamente 0.33).

¿Me estoy perdiendo algunos casos?