Combinatoria eligiendo miembros para una clase.

Question

Combinatoria eligiendo miembros para una clase.

JJabrams

La pregunta es la siguiente:

Tenemos dos clases de estudiantes, Clase A y Clase B y $n$ estudiantes para clasificar en cualquiera de las clases. Elegimos un número al azar $x$ entre $1$ y $n-1$ para darnos el tamaño de la clase. $x$ es entonces el tamaño de la Clase A. A partir de esto, elegimos a los estudiantes para la clase A y cada grupo de estudiantes elegidos tiene la misma probabilidad. Luego los estudiantes restantes ( $n-x$ ) conforman la Clase B. Considere un estudiante en particular, estudiante $1$ . ¿Cuál es la probabilidad de que la clase contenga estudiante $1$ tener un tamaño $m$ para $m$ de $(1.\;.\;.\;n-1)$

Este es mi trabajo hasta ahora. Creo que necesitamos usar la fórmula condicional de Baye para calcular la probabilidad del tamaño de la clase dado que el estudiante $1$ está en dicha clase. Por eso

PAG (tamaño de la clase | Alumno 1) = \frac{PAG (Alumno 1 | tamaño de la clase) \cdot PAG (tamaño de la clase)}{PAG (Alumno 1)}

$P(\text{size of class}|\text{Student}\; 1 )=\frac{P(\text{Student}\; 1|\text{size of class})\cdot P(\text{size of class})}{P(\text{Student}\; 1)}$ Ahora

PAG (Alumno 1 | tamaño de la clase) = \frac{(\binom{norte - 1}{metro - 1})}{(\binom{norte}{metro})}

$P(\text{Student}\; 1|\text{size of class})=\frac{n-1\choose m-1}{n\choose m}$

Y $P(\text{size of class})=\frac{1}{n-1}$ . Sin embargo, tengo problemas para ver dónde $P(\text{Student}\; 1)$ viene de. ¿Algún consejo?

Respuestas (2)

Combinatoria eligiendo miembros para una clase.

Brian M Scott · Answer 1

Brian M Scott

SUGERENCIA: Hay $2^{n-1}-1$ posibles clases que contienen Student $1$ . (¿Por qué?) Para un dado $m$ , cuantos de ellos tienen $m$ miembros?

JJabrams

Para cualquier dado

m

$m$ , el número de combinaciones posibles de la clase es

(\binom{n}{m})

$n\choose m$ . No estoy seguro de cómo ver esto para la clase que contiene al estudiante 1. Definitivamente me falta algo...

Brian M Scott

@JJabrams: Para formar una clase de

m

$m$ estudiantes que incluye Estudiante

1

$1$ , tienes que elegir

m - 1

$m-1$ otros estudiantes. ¿De cuántas maneras diferentes puedes hacer esto?

JJabrams

Elegir

m - 1

$m-1$ estudiantes de

n - 1

$n-1$ ¿bien? ¿Esto no está usando

(\binom{n - 1}{m - 1})

$n-1\choose m-1$ ? Lo siento, no estoy captando esto

Brian M Scott

@JJabrams: Sí, eso es correcto. ese es el numero de

m

$m$ -persona clases que contienen Estudiante

1

$1$ . Hay

2^{n - 1} - 1

$2^{n-1}-1$ posible

m

$m$ -clases de persona en total. Por lo tanto . . . ?

JJabrams

Ok, sí, entiendo que los divides. como conseguiste que hay

2^{n - 1} - 1

$2^{n-1}-1$ tamaño posible

m

$m$ clases?

Brian M Scott

@JJabrams: Ups: Escribí mal el último comentario. Quería escribir que hay en total

2^{n - 1} - 1

$2^{n-1}-1$ posibles clases que contienen Student

1

$1$ . El razonamiento para eso es similar al razonamiento que te lleva a

(\binom{n - 1}{m - 1})

$\binom{n-1}{m-1}$ por el numero de

m

$m$ -clases de persona que contienen Estudiante

1

$1$ ; ¿Puedes resolverlo?

JJabrams

Bien, creo que sí. Como estamos dividiendo a los estudiantes en dos clases tenemos que tenemos

2^{n - 1}

$2^{n-1}$ clases posibles. Por lo tanto, eliminamos la clase en la que Student

1

$1$ no pertenece a dar

2^{n - 1} - 1

$2^{n-1}-1$ . ¿Aunque habría más de una clase que no contenga al Estudiante 1....?

Brian M Scott

@JJabrams: Lo estás haciendo demasiado difícil. Para hacer una clase que contenga Estudiante

1

$1$ , empiezas con Estudiante

1

$1$ y añadir algún subconjunto de los restantes

n - 1

$n-1$ estudiantes. Hay

2^{n - 1}

$2^{n-1}$ tales subconjuntos. Sin embargo, hay uno que no puedes usar; ¿Qué es y por qué?

JJabrams

¡Ah, por supuesto! no puede usar una clase compuesta por todos los estudiantes, ya que debe haber un estudiante en la otra clase. ¡Gracias! Así que la probabilidad de estudiante

1

$1$ estar en la clase que observamos es

\frac{(\binom{n - 1}{m - 1})}{2^{n - 1} - 1}

$\frac{{n-1}\choose {m-1}}{2^{n-1}-1}$

Brian M Scott

@JJabrams: ¡Ahí tienes! De nada.

Empiromante · Answer 2

Puede aclarar un poco las cosas escribiendo sus eventos con mayor detalle. El evento "tamaño de la clase = n" es en realidad "tamaño de la clase que observamos = n", y el evento "Estudiante 1" es en realidad "Estudiante 1 está en la clase que observamos". Así que cuando estás buscando $P(\text{Student 1})$ , lo que está buscando es la probabilidad de que el Estudiante 1 esté en la clase que está observando, antes de saber qué tan grande es la clase.

Hay dos formas de pensar en cómo calculas este valor, y ambas te llevarán a la misma respuesta.

Primera Vía

La primera forma de calcular esta probabilidad es como el valor esperado de $P(\text{Student 1})$ para tamaño de clase desconocido. Eso es,

PAG (Estudiante 1) = \sum PAG (Estudiante 1 ∣ tamaño de la clase) \cdot PAG (tamaño de la clase)

$P(\text{Student 1}) = \sum P(\text{Student 1} \mid \text{class size}) \cdot P(\text{class size})$ donde la suma se toma sobre todos los valores posibles del tamaño de la clase.

Segunda Vía

La segunda forma es recordar que lo que te da el teorema de Bayes es una probabilidad . Por lo tanto, $P(\text{class size = x} \mid \text{Student 1})$ debe sumar a $1$ si sumas todos los valores $x$ del tamaño de la clase. Dado que el denominador $P(\text{Student 1})$ no depende del tamaño de la clase, podemos escribir

\begin{aligned} 1 = \sum PAG (tamaño de la clase ∣ Estudiante 1) & = \sum \frac{PAG (Estudiante 1 ∣ tamaño de la clase) \cdot PAG (tamaño de la clase)}{PAG (Estudiante 1)} \\ = \frac{\sum PAG (Estudiante 1 ∣ tamaño de la clase) \cdot PAG (tamaño de la clase)}{PAG (Estudiante 1)} \end{aligned}

$\begin{align*}1 = \sum P( \text{class size}\mid \text{Student 1} ) & = \sum \frac{P(\text{Student 1} \mid \text{class size}) \cdot P(\text{class size})}{P(\text{Student 1})} \\ & = \frac{\sum P(\text{Student 1} \mid \text{class size}) \cdot P(\text{class size})}{P(\text{Student 1})}\end{align*}$ y por lo tanto

PAG (Estudiante 1) = \sum PAG (Estudiante 1 ∣ tamaño de la clase) \cdot PAG (tamaño de la clase) .

$P(\text{Student 1}) = \sum P(\text{Student 1} \mid \text{class size}) \cdot P(\text{class size}).$

¡Gracias! ¿Es correcto mi enfoque general? No estaba seguro de usar Baye, ya que no menciona específicamente la probabilidad condicional
Sí, su enfoque general para usar el Teorema de Bayes es correcto.

Combinatoria eligiendo miembros para una clase.

JJabrams

Respuestas (2)

Brian M Scott

JJabrams

Brian M Scott

JJabrams

Brian M Scott

JJabrams

Brian M Scott

JJabrams

Brian M Scott

JJabrams

Brian M Scott

Empiromante

Primera Vía

Segunda Vía

JJabrams

Empiromante

Probabilidad de sacar 3 bolas rojas en 9 intentos en cualquier orden

¿Que me estoy perdiendo aqui? (Probabilidad)

Naipes: fórmula para la probabilidad de coincidencia con reglas de extracción de cartas

Probabilidad y galletas

Probabilidad de volver al punto de partida

Solución incorrecta: dados tres contenedores y tres bolas, ¿cuál es la posibilidad de que exactamente un contenedor esté vacío?

Número de formas de sentarse en dos mesas

Distribución de combinaciones de problemas de bolas de colores

Se debe elegir un comité de m miembros de una población de n estudiantes. ¿Cuál es su probabilidad de ser elegido?

5 cartas de una baraja de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las cartas sea mayor que 48?