Error lógico en problema de probabilidad sobre cartero entregando cartas para que cada casa reciba una carta equivocada

Question

Error lógico en problema de probabilidad sobre cartero entregando cartas para que cada casa reciba una carta equivocada

Matemáticas
probabilidad
permutaciones
combinatoria
exclusión inclusión

Aritro Shome

Un cartero tiene que entregar cuatro cartas en cuatro casas diferentes en una calle. Desafortunadamente, la lluvia ha borrado las direcciones, por lo que las distribuye al azar, una letra por casa. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las casas obtengan la letra correcta? (☆ ¿Cuál es la probabilidad de que todas las casas reciban una letra equivocada?)

Este fue un problema con el que me topé mientras revisaba la combinatoria. Para la primera parte es bastante sencillo, como para cuatro casas, digamos $A, B, C$ y $D$ , hay $4$ letras $L_A, L_B, L_C$ y $L_D$ , y solo existe una combinación tal que la carta correcta se entregue en la casa correcta. Sin embargo, para la pregunta destacada, mi lógica es la siguiente, pero la respuesta no concuerda con lo que dice el sitio.

mi logica:

Deja que las casas $A, B, C$ y $D$ estar uno al lado del otro en el mismo orden en que aparecen en el alfabeto.

$A$ $B$ $C$ $D$

X_______________

X marca la ubicación del cartero. En casa $A$ , de las cuatro letras $L_A, L_B, L_C$ , y $L_D$ , existen solo tres posibilidades tales que casa $A$ obtiene la letra equivocada. Para la casa $B$ , existen dos y para casa $C$ solo $1$ posibilidad, cualquiera de los restantes $2$ letras. Se garantiza que la última casa recibió la carta incorrecta siempre que se cumplan las condiciones anteriores. Por lo tanto las posibilidades son $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ . Por lo tanto la probabilidad es $6 / 24 = 1 / 4 = 0.25$

Sin embargo, el sitio dice (citado exactamente de https://mathigon.org/world/Combinatorics#:~:text=To%20find%20the%20probability%20that, called%20the%20Inclusion%20Exclusion%20principle. )

Encontrar la probabilidad de que cada carta se entregue en la casa equivocada es un poco más difícil. no es simplemente $1 – 0.0417$ , ya que hay muchos casos en los que una o dos, pero no todas las casas, aciertan con la letra. En este caso simple, la solución más fácil sería anotar todos $24$ posibilidades. Encontrarás eso en $9$ fuera de $24$ casos cada casa recibe una letra equivocada, lo que da una probabilidad de $0.375 = 37.5\%$ . Si hay demasiadas casas para anotar todas las posibilidades, puede usar una idea llamada el principio de inclusión y exclusión.

¿Alguien puede explicar la laguna en mi lógica, porque la solución en el sitio nos pide fuerza bruta, que resulta ser una técnica muy mal vista en los exámenes?

NF Taussig

Bienvenido a MathSE. Este tutorial explica cómo escribir matemáticas en este sitio.

Aritro Shome

@NFTaussig gracias! Realmente no tengo mucho tiempo para estudiar sobre la composición tipográfica, pero lo intentaré por ahora.

Respuestas (2)

Error lógico en problema de probabilidad sobre cartero entregando cartas para que cada casa reciba una carta equivocada

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@NFTaussig gracias! Realmente no tengo mucho tiempo para estudiar sobre la composición tipográfica, pero lo intentaré por ahora.

fcz · Answer 1

Tenga en cuenta que él puede entregar $L_C$ a casa $A$ , $L_A$ a casa $B$ y $L_B$ a casa $C$ . Entonces, al llegar $D$ , no se garantiza que la casa $D$ está recibiendo una carta equivocada.

NF Taussig · Answer 2

La cantidad de formas en que el cartero puede entregar una carta incorrecta a domicilio $B$ depende de lo que ya ha ocurrido. si ha entregado carta $L_B$ a casa $A$ , entonces hay tres formas de entregar una carta incorrecta a domicilio $B$ ya que ya no es posible entregar la carta correcta a domicilio $B$ . Por otro lado, si la letra $L_B$ no ha sido ya entregado a domicilio $A$ , entonces solo hay dos formas de entregar una carta incorrecta a domicilio $B$ desde carta $L_B$ aún está disponible. Del mismo modo, si la letra $L_C$ ha sido entregado a cualquiera de las casas $A$ o casa $B$ , entonces hay dos formas de entregar una carta incorrecta a domicilio $C$ ya que ya no es posible entregar la carta correcta a domicilio $C$ . Por otro lado, si la letra $L_C$ no ha sido entregado en ninguna casa $A$ o casa $B$ , entonces solo hay una forma de entregar una carta incorrecta a la casa $C$ desde carta $L_C$ aún está disponible.

Anexo: describí las formas en que su método conduce a un conteo insuficiente. Lo que muestra la excelente respuesta de fcz es que puede estar contando arreglos que no son trastornos en absoluto.

Solución: Hay $4!$ maneras para que el cartero entregue cuatro cartas distintas a cuatro casas diferentes. Para encontrar el número de desarreglos, debemos excluir aquellas permutaciones en las que se entrega al menos una letra a la casa correcta. Hay $\binom{4}{k}$ para seleccionar $k$ casas que reciben la letra correcta y $(4 - k)!$ entregar una carta a cada una de las casas restantes. Por lo tanto, por el Principio de Inclusión-Exclusión , el número de formas en que el cartero puede entregar cada carta en una casa diferente para que ninguna persona reciba una carta correcta es

\sum_{k = 0}^{4} (- 1)^{k} (\binom{4}{k}) (4 - k)! = 4! - (\binom{4}{1}) 3! + (\binom{4}{2}) 2! - (\binom{4}{3}) 1! + (\binom{4}{4}) 0! = 9

$\sum_{k = 0}^{4} (-1)^k\binom{4}{k}(4 - k)! = 4! - \binom{4}{1}3! + \binom{4}{2}2! - \binom{4}{3}1! + \binom{4}{4}0! = 9$ Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna persona reciba una carta correcta es

\frac{1}{4!} \sum_{k = 0}^{4} (- 1)^{k} (\binom{4}{k}) (4 - k)! = \frac{4! - (\binom{4}{1}) 3! + (\binom{4}{2}) 2! - (\binom{4}{3}) 1! + (\binom{4}{4}) 0!}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}

$\frac{1}{4!} \sum_{k = 0}^{4} (-1)^k\binom{4}{k}(4 - k)! = \frac{4! - \binom{4}{1}3! + \binom{4}{2}2! - \binom{4}{3}1! + \binom{4}{4}0!}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ En general, el número de trastornos de

n

$n$ objetos es

\sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) (norte - k)!

$\sum_{k = 0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}(n - k)!$ Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna persona reciba la letra correcta es

\frac{1}{norte!} \sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) (norte - k)! = \sum_{k = 0}^{4} (- 1)^{k} \frac{1}{norte!} \cdot \frac{norte!}{k! (norte - k)!} \cdot (norte - k)! = \sum_{k = 0}^{norte} \frac{(- 1)^{k}}{k!}

$\frac{1}{n!}\sum_{k = 0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}(n - k)! = \sum_{k = 0}^{4} (-1)^k \frac{1}{n!} \cdot \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot (n - k)! = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$ Para valores grandes de

n

$n$ , esto es aproximadamente

1 / e

$1/e$ . Ver trastornos para más información.

Pero, ¿cuál debería ser la solución a esta pregunta? Para 4 casas, la fuerza bruta sugerida es factible, pero para más casas> 10, puede volverse bastante engorroso

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