¿Cuántos pares de conjuntos que no tienen ningún elemento en común?

Considere tres enteros positivos n, k y m tales que k <= m.

Y un conjunto S = {1,2,…,n+k}.

Hay${ {n+k} \choose {k}}$subconjuntos de tamaño k del conjunto S, y${ {n+k} \choose {m}}$subconjuntos de tamaño m del conjunto S.

Entonces hay un total de${ {n+k} \choose {k}} * { {n+k} \choose {m}}$pares de subconjuntos entre los que puedo elegir, pero necesito eliminar cualquier par$p=(s1,s2)$tal que$s1∩s2 ≠ ∅$es decir si tienen al menos un elemento en común hay que contarlo para eliminarlo del total.

Por ejemplo: n = 3, k = 2 y m = 3 S = {1,2,3,4,5}

Pares = [({1,2}, {1,2,3}), ..., ({1,2}, {3,4,5})..., ({4,5}, { 3,4,5})] Entonces, para los 3 ejemplos explícitos anteriores, hay 2 que eliminar: ({1,2}, {1,2,3}) -> los elementos comunes son {1,2} ({ 4,5}, {3,4,5}) -> los elementos comunes son {4,5}

No hay eliminación para ({1,2}, {3,4,5}) porque los 2 conjuntos de {1,2} y {3,4,5} son disjuntos.

Entonces, ¿cuántos pares de conjuntos que no tienen ningún elemento en común?

Gracias