Probabilidad y galletas

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Probabilidad y galletas

Matemáticas
probabilidad
combinaciones
permutaciones
combinatoria
exclusión inclusión

albaricoque

Si una panadería hace cuatro tipos diferentes de galletas (chocolate, mantequilla de maní, galletas de jengibre y avena).

¿Cuántas bolsas diferentes de 12 galletas puede ofrecer la panadería?

Este es un problema de combinaciones con repeticiones, así que tenemos la fórmula

(\binom{norte + r - 1}{r})

${n + r -1 \choose r}$ y aquí tenemos

n = 4, r = 12

$n = 4, r = 12$ y así tenemos

(\binom{4 + 12 - 1}{12}) = (\binom{15}{12})

${4 + 12 - 1 \choose 12} = {15 \choose 12}$ diferentes bolsas de 12 galletas.

Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que una bolsa aleatoria de esas 12 galletas contenga al menos una de cada tipo de galleta?

Ahora tenemos que restar el número de bolsas que no contienen todos los diferentes tipos de galletas de ${15 \choose 12}$

Ahora, ¿de cuántas maneras una bolsa no puede contener todo tipo de galletas?

Puede contener los primeros tres tipos y excluir el último, que creo que es ${3 + 12 - 1 \choose 12} = {14 \choose 12}$

también hay ${4 \choose 3}$ número de maneras de seleccionar esos tres tipos y entonces multiplicamos

(\binom{4}{3}) (\binom{14}{12})

${4 \choose 3}{14 \choose 12}$

Ahora hacemos lo mismo con una bolsa que contiene dos tipos diferentes de galletas para obtener

(\binom{4}{2}) (\binom{13}{12})

${4 \choose 2}{13 \choose 12}$

Y ahora lo último son las bolsas que contienen un solo tipo de galletas que es

(\binom{4}{1}) (\binom{12}{12})

${4 \choose 1}{12 \choose 12}$

Ahora la probabilidad debe ser igual a

\frac{(\binom{15}{12}) - ((\binom{4}{3}) (\binom{14}{12}) + (\binom{4}{2}) (\binom{13}{12}) + (\binom{4}{1}) (\binom{12}{12}))}{(\binom{15}{12})}

$\frac{{15 \choose 12} - \big({4 \choose 3}{14 \choose 12}+ {4 \choose 2}{13 \choose 12} + {4 \choose 1}{12 \choose 12} \big)}{15 \choose 12}$

¿Es ese razonamiento lógico y correcto?

Respuestas (2)

Probabilidad y galletas

joriki · Answer 1

No, este razonamiento no es correcto. Estás restando algunas de las posibilidades varias veces. Echa un vistazo a la inclusión-exclusión . Para contar cada posibilidad exactamente una vez, necesita signos alternos:

(\binom{15}{12}) - (\binom{4}{3}) (\binom{14}{12}) + (\binom{4}{2}) (\binom{13}{12}) - (\binom{4}{1}) (\binom{12}{12}) = 165 .

$\binom{15}{12}-\binom43\binom{14}{12}+\binom42\binom{13}{12}-\binom41\binom{12}{12}=165\;.$

Pero también hay un enfoque mucho más simple: los tipos de $4$ ya se dan cookies (una de cada), por lo que ahora solo tenemos $8$ tipos de cookies a elegir, dando como resultado

(\binom{4 + 8 - 1}{8}) = (\binom{11}{8}) = 165

$\binom{4+8-1}8=\binom{11}8=165$

posibilidades.

¿Por qué necesitamos signos alternos? ¿Podría explicarlo? @joriki
@alkabary: ¿Revisaste el artículo al que vinculé? ¿Qué parte no está clara?
¿Puede aclarar más para el enfoque más simple? Hay cuatro tipos de cookies, pero ¿por qué tenemos $8$ aquí ? @joriki
@alkabary: Porque $12-4=8$ . Tenemos $12$ cookies y el tipo de $4$ las cookies son fijas, por lo que los tipos de $12-4=8$ Quedan cookies por elegir. Piense en los tipos como frascos. Tienes $12$ galletas y $4$ tarros de galletas Pones una galleta en cada frasco y luego decides dónde poner el resto $12-4=8$ galletas.
Ok, pero solo una pregunta más, ¿por qué hay una superposición entre ${4 \choose 3}{14 \choose 12}$ y ${4 \choose 2}{13 \choose 12}$ por ejemplo ?
@alkabary: $\binom{14}{12}$ cuenta el número de formas para que las cookies tengan como máximo tres tipos particulares. Incluye configuraciones en las que las cookies de hecho sólo tienen uno o dos de esos tipos. Si esto no está claro de inmediato, tal vez eche un vistazo a la derivación de $\binom{3+12-1}{12}$ utilizando estrellas y barras .

orrick · Answer 2

La pregunta parece mal planteada. ¿Qué se entiende por una "bolsa aleatoria"? En otras palabras, ¿por qué proceso son los $12$ galletas elegidas? Podemos imaginar que la panadería tiene una caja grande que contiene los cuatro tipos de galletas y que $12$ las cookies se seleccionan al azar de la caja. Pero la respuesta dependerá de cuántas galletas de cada tipo haya en la caja.

Si suponemos que la caja contiene cantidades iguales de cada tipo de galleta, y que la cantidad total de galletas en la caja es extremadamente grande, de modo que se puede despreciar el agotamiento de un tipo cuando se selecciona una galleta de ese tipo, entonces la probabilidad es

\frac{4^{12} - (\binom{4}{3}) 3^{12} + (\binom{4}{2}) 2^{12} - (\binom{4}{1}) 1^{12}}{4^{12}} = \frac{4! {\binom{12}{4}}}{4^{12}} \approx 0.87.

$\frac{4^{12}-\binom{4}{3}3^{12}+\binom{4}{2}2^{12}-\binom{4}{1}1^{12}}{4^{12}}=\frac{4!\left\{ {12 \atop 4}\right\}}{4^{12}}\approx0.87.$ Aquí

{\binom{12}{4}}

$\left\{ {12 \atop 4}\right\}$ es un número de Stirling de segunda clase.

En su enfoque del problema, está suponiendo que todas las composiciones de una bolsa son igualmente probables, lo que no me parece muy natural de suponer. Con el resultado de joriki, esta suposición produce la probabilidad $165/455\approx0.36,$ un valor muy inferior al que da el modelo de caja.

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