Probabilidad de sacar 3 bolas rojas en 9 intentos en cualquier orden

Supongamos que tenemos$R$bolas rojas y$B$bolas negras Entonces la probabilidad de sacar una bola roja es$p_R:= \frac R{R+B}$y la probabilidad de sacar una bola negra es$p_B:= \frac B{R+B}$. Dejar$X_i\stackrel{\mathrm{i.i.d.}}\sim\mathrm{Ber}(p_R)$,$i=1,2,\ldots$y definir$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$para$n=1,2,\ldots$. Dejar$k$ser un entero no negativo y$m$un entero positivo. Entonces

$$\mathbb P(S_m\geqslant k) = \sum_{i=k}^m \binom mi p_R^i p_B^{m-i} = \sum_{i=k}^m \binom mi \left(\frac R{R+B}\right)^i\left(\frac B{R+B}\right)^{m-i}.$$ En nuestro ejemplo tenemos$k=3$y$m=9$, entonces $$\mathbb P(S_9\geqslant 3) = \sum_{i=3}^9 \binom 9i\left(\frac R{R+B}\right)^i\left(\frac B{R+B}\right)^{9-i} = 1-\frac{B^7 \left(B^2+9 B R+36 R^2\right)}{(B+R)^9}.$$ Podemos escribir esto en términos de$p_R$y$p_B$como sigue: $$1-\frac{B^7 \left(B^2+9 B R+36 R^2\right)}{(B+R)^9} = 1 - p_B^7(p_B^2 + 9p_Bp_R + 36p_R^2).$$ En el caso de que sólo sepamos$p_R$y$p_B$, y no los valores reales de$R$y$B$, la probabilidad viene dada por $$p_R^3 \left(126 p_B^5 p_R+126 p_B^4 p_R^2+84 p_B^3 p_R^3+36 p_B^2 p_R^4+9 p_B p_R^5+84 p_B^6+p_R^6\right).$$

Solo si alguien está interesado, siguiendo a @lioness99a y @NF Taussig responde:

import org.apache.commons.math3.distribution.BinomialDistribution;

public class ScratchAndWin {
    public static void main(String[] args) {

        double PROBABILITY_RED = 0.10; // <--- change this
        int EXTRACTIONS = 9;
        int REQUIRED_SUCCESSES = 3;

        BinomialDistribution distribution = new BinomialDistribution(EXTRACTIONS, PROBABILITY_RED);
        double percentaje = 1 - distribution.cumulativeProbability(REQUIRED_SUCCESSES - 1);
        System.out.println("PERCENTAGE WINNERS 3 REDS: " + percentaje);
    }
}