¿Cómo reconciliar dos derivaciones diferentes de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

Question

¿Cómo reconciliar dos derivaciones diferentes de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

Vaquero

Por un lado, utilizando la descomposición espectral del operador hamiltoniano $H$ , que se supone que es un operador hermitiano, es relativamente simple derivar la ecuación $U(t) = \sum |v_j\rangle\langle v_j| e^{-i \lambda_j t / \hslash}$ , dónde $\lambda_j$ es el valor propio y $|v_j\rangle$ es el vector propio correspondiente, asumiendo una descomposición discreta y un caso no degenerado.

Por otro lado, usando la matriz exponencial y resolviendo la ecuación diferencial parcial lineal, $U(t) = e^{-i H t / \hslash}$ . Suponiendo que hamiltoniano es un operador hermitiano definido sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita $\mathcal{H}_n$ , el operador está acotado y la matriz exponencial converge.

Estoy tratando de reconciliar ambas ecuaciones. Conectando la descomposición espectral de $H$ en la segunda ecuación no parece darme la primera.

por simetría

¿Puede ampliar la dificultad que está teniendo? El lado derecho de la primera ecuación a menudo se toma como la definición de la matriz exponencial en la segunda, por lo que exactamente qué definiciones está usando y exactamente qué enfoque está tomando para que podamos ayudarlo.

Vaquero

La definición de la exponenciación matricial que utilicé es simplemente

e^{M} = \sum_{i}^{\infty} \frac{M^{i}}{i!}

$e^M = \sum_i^\infty \frac{M^i}{i!}$ . La respuesta a continuación estuvo bien. ¡Tan sencillo! Debería haberlo encontrado yo mismo :-(

Respuestas (1)

¿Cómo reconciliar dos derivaciones diferentes de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

¿Puede ampliar la dificultad que está teniendo? El lado derecho de la primera ecuación a menudo se toma como la definición de la matriz exponencial en la segunda, por lo que exactamente qué definiciones está usando y exactamente qué enfoque está tomando para que podamos ayudarlo.
La definición de la exponenciación matricial que utilicé es simplemente $e^M = \sum_i^\infty \frac{M^i}{i!}$ . La respuesta a continuación estuvo bien. ¡Tan sencillo! Debería haberlo encontrado yo mismo :-(

SolublePeces · Answer 1

Desde $H|v_j\rangle =\lambda_j |v_j\rangle$ , tienes :

H^{norte} | v_{j} ⟩ = λ^{norte} | v_{j} ⟩ y por lo tanto {mi}^{α H} | v_{j} ⟩ = {mi}^{α λ_{j}} | v_{j} ⟩

$H^n|v_j\rangle = \lambda^n|v_j\rangle \qquad \text{and therefore}\qquad e^{\alpha H}|v_j\rangle = e^{\alpha\lambda_j}|v_j\rangle$

Además, el teorema espectral asegura que la $|v_j\rangle$ puede tomarse como una base ortonormal y por lo tanto:

1 = \sum_{j} | v_{j} ⟩ ⟨ v_{j} |

$1 = \sum_j |v_j\rangle \langle v_j|$

Por lo tanto, tienes:

\begin{aligned} tu (t) & = {mi}^{- i H t / ℏ} \\ = \sum_{j} {mi}^{- i H t / ℏ} | v_{j} ⟩ ⟨ v_{j} | \\ = \sum_{j} {mi}^{- i λ_{j} t / ℏ} | v_{j} ⟩ ⟨ v_{j} | \end{aligned}

$\begin{align} U(t) &= e^{-iHt/\hbar} \\ &= \sum_j e^{-iHt/\hbar} |v_j\rangle\langle v_j| \\ &= \sum_j e^{-i\lambda_j t/\hbar}|v_j\rangle\langle v_j| \end{align}$

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por simetría

Vaquero

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SolublePeces

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