¿Qué genera realmente la evolución del tiempo?

Sí, necesita poner un factor adicional de$\hbar$para que las unidades funcionen. Esto se ve fácilmente ya que, si un operador$T$genera evolución en un parámetro$\tau$, el operador de evolución correspondiente es$e^{iT\tau}$, entonces$T\tau$debe ser sin unidad. Cuando$\tau$es hora entonces$T$tiene que ser$H/\hbar$.

Esta es una peculiaridad del uso del lenguaje a la que tendrás que acostumbrarte; cuando la gente dice "el hamiltoniano genera la evolución del tiempo", están usando "el hamiltoniano" para referirse a algo proporcional al hamiltoniano,$aH$para alguna constante distinta de cero$a$(en este caso,$a = 1/\hbar$). Esto no es irrazonable porque cambiar la escala del hamiltoniano por una constante no cambia las soluciones de las ecuaciones de movimiento, por lo que puede considerar la clase de equivalencia$\{aH\ \forall\ a\neq 0\}$ser "el hamiltoniano". (Disculpas a los matemáticos por mi horrible mal uso de la notación de conjuntos, pero el punto debe quedar claro).