¿Qué es una "imagen" en la mecánica cuántica?

Para responder a esto, necesitas un poco de lenguaje. Los observables fundamentales de la mecánica cuántica no son ni de estados ni de operadores; en cambio, los observables fundamentales son elementos de matriz, de la forma

$$\langle\varphi |A|\psi\rangle.$$ En el caso más general, podría tener dependencia temporal en los estados, de la forma $$i\partial_t |\psi(t)\rangle = H_\mathrm S|\psi(t)\rangle,$$ así como la dependencia del tiempo en los operadores, de la forma $$i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}A(t) = [H_\mathrm H,A(t)] +i\frac{\partial A}{\partial t}.$$ Si combina estos dos, la evolución temporal de los observables fundamentales es de la forma $$i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle\varphi(t)|A(t)|\psi(t)\rangle = \left\langle\varphi(t)\middle|\bigg[H_\mathrm S+H_\mathrm H, A(t)\bigg] +i\frac{\partial A}{\partial t}\middle|\psi(t)\right\rangle .\tag{$*$}$$ Esta es la ecuación fundamental de evolución temporal de la mecánica cuántica, donde $H=H_\mathrm S+H_\mathrm H$necesita ser el hamiltoniano completo del sistema, y ​​cada construcción que sea consistente con esta forma es equivalente en términos de sus predicciones experimentales.

En este lenguaje, entonces,

una imagen es una elección de cómo dividir$\boldsymbol H$en$\boldsymbol H_{\mathrm{\mathbf S}}$y$\boldsymbol H_{\mathrm{\mathbf H}}$.

Así, el cuadro de Schrödinger corresponde a la elección de$H_\mathrm H=0$y$H_\mathrm S=H$, la imagen de Heisenberg es lo contrario, y tiende a llamar 'imagen de interacción' a un conjunto de opciones intermedias, aunque debe quedar claro que no existe una imagen única.

Las imágenes de Heisenberg y Schroedinger en realidad no son equivalentes en un escenario abstracto.

La imagen de Schroedinger corresponde al estudio de la evolución de los estados cuánticos, la imagen de Heisenberg a la evolución de los observables cuánticos. Los observables cuánticos forman una topología$*$-álgebra, y los estados cuánticos son elementos de su dualidad. Para simplificar, limitémonos a observables acotados, para que formen un espacio de Banach (un C$*$-álgebra), así como los estados.

Ahora, se requiere que la evolución sea un grupo de aplicaciones lineales continuas en uno de los dos espacios de Banach (estados para Schr, observables para Heis). En observables, en realidad se requiere que sea un grupo de automorfismos del álgebra. No obstante, en ambas imágenes definimos un mapa$t\mapsto U (t)$, donde el$U (t)$son operadores lineales continuos en el respectivo espacio de Banach. Es entonces natural preguntarse por las propiedades de continuidad del mapa mencionado con respecto a las diferentes topologías disponibles en el espacio de operadores lineales continuos en un espacio de Banach. Entonces se dice que el grupo es, por ejemplo, débil, fuerte o uniformemente continuo. Tales propiedades de continuidad son muy importantes para determinar la estructura del grupo. Por ejemplo, si queremos que los estados obedezcan la ecuación de Schroedinger, necesitamos que el grupo sea fuertemente continuo.

La dualidad entre los cuadros de Schroedinger y Heisenberg supuestamente está dada por el hecho de que el grupo de evolución de los observables induce un grupo de evolución de los estados por dualidad de espacios topológicos. A su vez, un grupo de evolución sobre estados induce un grupo de evolución sobre el doble dual de observables (que suele ser mayor que el espacio de observables). El problema es que la dualidad no preserva las propiedades de continuidad del grupo. La continuidad uniforme es la única que se conserva, pero el generador de un grupo uniformemente continuo está acotado (y sabemos que los hamiltonianos físicamente relevantes no lo están). La continuidad fuerte no se conserva y, por lo tanto, incluso si tenemos un grupo fuertemente continuo en la imagen de Heisenberg, en general, el grupo dual en la imagen de Schroedinger puede no serlo. por lo que la ecuación de Schroedinger puede fallar. Por otro lado, no se garantiza que el grupo dual de observables mapee observables en observables, ya que puede mapear objetos del doble dual que no son observables.

La palabra "imagen" es la traducción al inglés del término en el primer idioma donde se discutió este concepto, a saber, la palabra alemana "Bild" (al igual que la revista alemana). El "Heisenberg Bild" fue la primera imagen que se conoció.

Y se supone que este término no es más que un sinónimo informal de la palabra "representación". Cuando un artista hace una pintura, es una representación del objeto que pintó. Entonces, la imagen también es una representación entre los artistas. El uso de la jerga de este artista permite ciertas "inexactitudes". La imagen no tiene que ser una "representación" en algún sentido riguroso particular definido por los matemáticos. Y las diferentes imágenes realmente no necesitan ser exacta, confiable y universalmente equivalentes, aunque elegiría la respuesta de que las imágenes son exactamente equivalentes.

Pero las representaciones de Heisenberg, Schrödinger e interacción son representaciones en el sentido de que operaciones particulares que conocemos "fenomenológicamente", como la evolución en el tiempo$\Delta t$(esperando un tiempo), están representados por diferentes transformaciones reales en los objetos matemáticos en la teoría, ya sea por una transformación del vector de estado o los operadores o ambos.

En este sentido, la palabra "imagen" simplemente indica "una traducción de los conceptos que conocemos experimentalmente, independientemente de las teorías, en algunas operaciones y símbolos matemáticos particulares". La traducción al lenguaje de las matemáticas es análoga a la creación de una pintura por parte de los artistas. Entonces, cuando especifica completamente tal traducción a un símbolo matemático, ha pintado una imagen, una representación, del mundo que lo rodea.

Las imágenes surgieron por primera vez en la mecánica cuántica. Los físicos clásicos nunca han hablado realmente de "imágenes". Es porque todas las teorías clásicas de la física eran "imágenes" en sí mismas. Se suponía que reflejaban directamente lo que está ahí fuera y, por lo tanto, la "traducción" mencionada anteriormente era única y trivial. Solo la mecánica cuántica se ha dado cuenta de que la traducción entre los objetos matemáticos de nuestra teoría y las observaciones puede ser un poco más sutil, por lo que es conveniente hablar de ello, admitir todas las traducciones posibles y estudiar sus equivalencias si las hubiera.