¿Cuál es una 'traducción' razonable de la ecuación de Schrödinger?

Se debe recordar que la derivación de la ecuación de Schrödinger es bastante heurística y que reglas como

$$\begin{align} E\to \hat H&=i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \tag{1} \\ p\to \hat p&=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\tag{2} \end{align}$$ fueron "justificados" por primera vez utilizando ondas planas, ya que es empíricamente cierto que las partículas exhiben un comportamiento ondulatorio. Así, usando las relaciones de Einstein y de Broglie $E=\hbar \omega$y $p=\hbar k$en la expresión de onda plana $$\Psi(x,t)=A e^{i(px-Et)/\hbar}$$
uno puede recuperar la energía y el momento de la onda plana tomando las derivadas apropiadas y luego "factorizando" $\Psi(x,t)$: $$\begin{align} \hat H\Psi(x,t)&=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi(x,t)=E\Psi(x,t)\, ,\\ \hat p\Psi(x,t)&=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\Psi(x,t)=p\Psi(x,t)\, . \end{align}$$
En este sentido, las reglas de (1) y (2) son solo "trucos" para recuperar $E$y $p$de $\Psi(x,t)$utilizando operadores derivados. Los trucos encapsulan las observaciones de que, para ondas planas (expresadas como exponenciales complejas), la tasa de cambio en el tiempo de $\Psi(x,t)$está relacionado con la energía, mientras que la tasa de cambio en el espacio de $\Psi(x,t)$está relacionado con el impulso.

Quizás la sorpresa es que las reglas de las ecuaciones (1) y (2) obtenidas de las ondas planas siguen siendo válidas incluso cuando se incluye un potencial$V(x)$(y así las soluciones ya no son ondas planas). En este caso, lo más sencillo es extender las reglas de las derivadas de (1) y (2) a la ecuación de Schrödinger completa con potencial

$$i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)\, . \tag{3}$$ de modo que esto se vuelve compatible con la afirmación de que la energía total del sistema es la suma de la cinética más el potencial: $$E=\frac{p^2}{2m}+V(x)\, .\tag{4}$$

Usando la separación estándar de variables para (3), el “truco” para obtener la energía del estado sigue siendo una aplicación de la derivada temporal a soluciones de la forma$\Psi(x,t)=e^{iEt/\hbar}\psi(x)$dónde$\psi(x)$ahora satisface la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que en última instancia es una expresión de (4):

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x)\, .$$

La dificultad es que$\Psi(x,t)$no tiene una interpretación física directa (ya que es complejo). La cantidad físicamente significativa es$\Psi(x,t)\Psi(x,t)^*$; para soluciones de energía fija, la dependencia del tiempo desaparece (estas son soluciones de estado estacionario). Si$\Psi(x,t)$no es de la forma factorizada$e^{-iEt/\hbar} \psi(x)$entonces la derivada temporal de$\Psi(x,t)$no es proporcional a sí mismo, y se pierde la conexión entre la derivada del tiempo y la energía: esto no es sorprendente ya que este tipo de soluciones no se interpretan como que tienen energía definida.