Transformación galileana de la ecuación de onda

Tengo esta ecuación de onda general:

∂ 2 ψ ∂ X 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 − 1 C 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 = 0

Y la siguiente transformación: t ′ = t ; X ′ = X − V t y y ′ = y

La solución a esto tiene que ser:

∂ 2 ψ ∂ X ′ 2 ( 1 − V 2 C 2 ) + ∂ 2 ψ ∂ y ′ 2 + 2 V C 2 ∂ 2 ψ ∂ X ′ ∂ t ′ 2 − 1 C 2 ∂ 2 ψ ∂ t ′ 2 = 0

Esto prueba que la velocidad de la onda depende de la dirección en la que estés mirando. no se como llegar a esto? Si lo sustituyes en la ecuación obtienes X ′ + V t en la derivada parcial. ¿Hay otra forma de hacer esto o qué regla debo usar para resolverlo? Estaba pensando en la regla de la cadena o algo así, pero ¿cómo la aplico en derivadas parciales?

Mira esto . No proporciona una respuesta directamente, pero proporciona la entrada necesaria. También se discuten otros temas relacionados.
Es el signo en el término medio, − 2 V C 2 ∂ 2 ψ ∂ X ′ ∂ t ′ ¿correcto? ¿O debería ser positivo?
Debería ser positivo.

Respuestas (2)

Primero debes reescribir las antiguas derivadas parciales en términos de las nuevas. A priori son unas combinaciones lineales con coeficientes que podrían depender de las coordenadas del espacio-tiempo en general pero aquí no dependen porque la transformación es lineal. Las normas

t ′ = t , X ′ = X − V t , y ′ = y
ser traducido a
∂ ∂ t = ∂ ∂ t ′ − V ∂ ∂ X ′
∂ ∂ X = ∂ ∂ X ′
∂ ∂ y = ∂ ∂ y ′
Si escribe los coeficientes delante de las derivadas con prima del lado derecho como una matriz, es la misma matriz que la matriz original de derivadas ∂ X i ′ / ∂ X j . Si no desea trabajar con matrices, simplemente verifique que todas las expresiones del tipo ∂ X / ∂ t son lo que deberían ser si reescribe estas derivadas usando las tres ecuaciones mostradas y si usa las derivadas parciales obvias ∂ y ′ / ∂ t ′ etc.

Si simplemente reescribe las (segunda) derivadas con respecto a las coordenadas sin prima en términos de las (segunda) derivada con respecto a las coordenadas con prima, obtendrá su segunda forma transformada de Galileo de la ecuación. He comprobado que funciona - hasta el posible error en el signo de V que solo afecta el signo del término con el mixto X t segunda derivada.

Supongo que si esta explicación no es suficiente, debería volver a hacer esta pregunta en el foro de matemáticas.

¡Muchas gracias! Lo he comprobado, y funciona. Tuve algunos problemas con la transformación de operadores diferenciales. Me disculpo por publicar esta pregunta matemática en la categoría de física, aunque el significado de la solución es apropiado.
hola... no deberia ∂ ∂ X ′ = ∂ ∂ X − 1 V ∂ ∂ t ?? ¿podría explicar por qué simplemente ∂ ∂ X = ∂ ∂ X ′ ??
@SantoshLinkha porque ∂ X ( ψ ( X ′ ) ) = ∂ X ( ψ ( X − v t ) ) = ∂ X ′ ψ ∗ ∂ X ( X − V t ) = ∂ X ′ ψ
En caso de que alguien más caiga accidentalmente en la misma trampa que @SantoshLinkha (fácilmente), una forma un poco más obvia de ver el error es que al usar la regla de la cadena (transformación) para derivadas parciales, obtenemos un término que es ∂ t ′ ∂ X , que en realidad es 0 , desde X no depende directamente de t ′ , más bien sólo en t (sería 1 / V si estuviéramos considerando la derivada total, por supuesto).

regla de transformación para derivadas parciales:

∂ ∂ X m = ∑ v ∂ X v ′ ∂ X m ∂ ∂ X v ′

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