Cuando resolvemos tareas de QM resolviendo la ecuación de Schrödinger, como tareas sobre una partícula en un potencial de Morse, un potencial de Poschl-Teller y muchas otras, generalmente encontramos aproximaciones (llamémoslas como ) de la función de onda en puntos de equilibrio . Luego sustituimos en la ecuación de Schrödinger y luego, en la mayoría de los casos, obtener mágicamente una ecuación hipergeométrica para (o algo como esta ecuación; si no, podemos reducir la ecuación a una hipergeométrica por simple sustitución).
No entiendo por qué funciona. A veces parece similar a encontrar la solución en forma de una serie generalizada, pero en los otros casos no puedo llegar a una interpretación correspondiente. No me gusta una interpretación que se refiera a una idea que entrecruza asintóticos, porque es demasiado abstracto y no explica por qué el método funciona en la mayoría de los casos (como para mí). Entonces, ¿cuál es la explicación?
¿Quizás está conectado con un método estricto para llevar la ecuación al tipo hipergeométrico? Pero, ¿cómo exactamente?
La ecuación de Schrödinger no es más que una ecuación diferencial, por lo que puede resolverse mediante una de las técnicas de aproximación iterativa más efectivas para tal, a saber, WP: análisis asintótico ; WP:Expansión asintótica ; WP:Teoría asintótica ; etc...
El análisis asintótico consiste en partir de una solución base y mejorarla iterativamente como una serie, o bien, más adecuadamente, infiriendo el equilibrio asintótico dominante , como se describe e ilustra en el primer artículo. No estoy seguro de qué tipo de interpretación física está buscando en una mera ecuación diferencial.
Para apreciar la definición estricta de asintótica, considere la notación WP: Big O.