¿La QM prohíbe explícitamente la existencia de una única partícula en un hipotético espacio vacío infinito?

Supongamos que el universo está completamente vacío con una sola partícula atrapada en él. Para simplificar, solo miraré el caso unidimensional. Sin embargo, todos los argumentos son aplicables para tres dimensiones. La solución de la ecuación de Schrödinger$\hat{H} \psi = E \psi$con$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}$y$\quad \hat{p} = -i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}$para una partícula libre ($V=0$) entonces viene dada por$\psi(x,t)=A\exp{i(kx-wt)}$con constantes$w=\frac{E}{\hbar}$y$E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$que se puede mostrar fácilmente. Para cumplir con los criterios de QM,$\langle \psi|\psi\rangle$necesita ser normalizado (=1). Si eso no es posible, no hay forma de que tal cantidad pueda interpretarse como una densidad de probabilidad. Sin embargo, si intenta normalizar la densidad, encontrará:

$$\begin{align*} \langle\psi|\psi\rangle &=\int_{-\infty}^{\infty} \psi \psi^* dx \\ &= |A|^2 \int_{-\infty}^{\infty}\exp{i(kx-wt)} \exp{-i(kx-wt)}\mathrm dx \\ &=|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\mathrm dx\\ &=\infty\,. \end{align*}$$

Por lo tanto, no es posible encontrar dicha normalización. Al preguntar, descubrí que tales casos normalmente se tratan como una aproximación de un pozo de potencial muy amplio (pero finito), o en el caso tridimensional, una caja. Esto permite una solución bastante simple que se puede normalizar. Sin embargo, solo representa una aproximación . Desde un punto de vista riguroso, no existen tales soluciones que satisfagan los postulados de la Mecánica Cuántica. ¿Significa eso que las leyes de QM prohíben fundamentalmente un universo vacío infinito con una sola partícula atrapada en él?