Cómo determinar la solución a la ecuación de Schrödinger para el problema de partículas en una caja

En este video de YouTube sobre el problema de la partícula en una caja:

El determina que ψ ( X ) = A pecado ⁡ ( k X ) + B porque ⁡ ( k X ) es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que es:

∂ 2 ψ ∂ X 2 + k 2 ψ = 0
pero decide no explicar cómo se determinó esta solución. Tenía la esperanza de que alguien pudiera ayudarme a entender cómo llegar a esa ecuación por mi cuenta. Sé que esto es probablemente muy simple, pero estoy tratando de aprender mecánica cuántica sin tener mucho conocimiento en matemáticas.

La ecuación dice que la segunda derivada de una función es un múltiplo constante de la función misma. Las únicas funciones elementales que satisfacen esta propiedad son el seno y el coseno (que son representaciones de exponenciales complejas).

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Muchas ecuaciones diferenciales no se resuelven con un método fijo, sino adivinando y jugando con la ecuación hasta que encuentres una idea. Entonces, dado que no hay una 'derivación' formal para adivinar, la gente a menudo simplemente te da la solución. El suyo es un ejemplo de una pregunta diferencial que a menudo se adivina.

¿Cómo adivinarlo? Observa que tu ecuación diferencial dice que dos derivadas solo dan un factor constante frente a la función original. Tal vez recuerdes que las segundas derivadas de senos y cosenos solo devuelven senos y cosenos, hasta un factor. Entonces, jugar con senos y cosenos hasta encontrar la solución de trabajo más general resolvería esta ecuación por ti.

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