Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo con V=V(x,t)V=V(x,t)V=V(x,t)

Me preguntaba sobre lo siguiente:

Si tiene la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo tal que

i ℏ ∂ ψ ( X , t ) ∂ t = − ℏ 2 2 metro ∂ 2 ψ ( X , t ) ∂ X 2 + V ( X , t ) ψ ( X , t ) ,

donde el potencial también depende del tiempo. ¿Cuál es la estrategia general para resolver esto? ¿Separación de variables o hay mejores técnicas disponibles? Especialmente si V ( X , t ) = V 1 ( t ) V 2 ( X ) . Por ejemplo, si conoce la solución a

mi norte = − ℏ 2 2 metro ∂ 2 ψ ( X , t ) ∂ X 2 + V 2 ( X ) ψ ( X ) ,
¿Ayuda esto a encontrar la solución general?

Respuestas (2)

En primer lugar, hay algunos problemas con un potencial dependiente del tiempo, V ( X , t ) . Es decir, si aplicamos el teorema de Noether, es posible que no se aplique la conservación de la energía. Específicamente, si bajo una traducción,

t → t + t ′

el lagrangiano L = T − V ( X , t ) cambia por no más de una derivada total, entonces se aplicará la conservación de la energía, pero esto restringe la posible V ( X , t ) , dependiendo del sistema.

A menudo tratamos cada ecuación de Schrödinger caso por caso, ya que un determinado sistema puede prestarse a un enfoque diferente, por ejemplo, el oscilador armónico se resuelve fácilmente empleando el formalismo de los operadores de creación y aniquilación. Si consideramos un potencial dependiente del tiempo, la ecuación generalmente viene dada por,

i ℏ ∂ ψ ∂ t = − ℏ 2 2 metro ∂ 2 ψ ∂ X 2 + V ( X , t ) ψ

Dependiendo de V , se puede emplear la transformada de Laplace o Fourier. Otro enfoque, como lo menciona Jonas, es la teoría de la perturbación, mediante la cual aproximamos el sistema como un sistema más simple y calculamos aproximaciones de mayor orden para el sistema totalmente perturbado.

Ejemplo

Como ejemplo, considere el caso V ( X , t ) = d ( t ) , en cuyo caso la ecuación de Schrödinger se convierte en,

i ℏ ∂ ψ ∂ t = − ℏ 2 2 metro ∂ 2 ψ ∂ X 2 + d ( t ) ψ

Podemos tomar la transformada de Fourier con respecto a t , en vez de X , para ingresar al espacio de frecuencia angular:

− ℏ ω Ψ ( ω , X ) = − ℏ 2 2 metro Ψ ″ ( ω , X ) + ψ ( 0 , X )

que, si se conocen las condiciones iniciales, es una ecuación diferencial de segundo orden potencialmente simple, a la que luego se puede aplicar la transformada inversa de Fourier a la solución.

ah interesante ejemplo. ¿podría explicar cuál podría ser una condición inicial apropiada? (un ejemplo simple sería genial)
lo siento, no sé si tengo que mandarte un ping...
@user180097: Sinceramente, no sé cuál sería una condición inicial adecuada para ψ ( 0 , X ) .

No conozco ninguna receta general. Si la parte dependiente del tiempo de V es débil, se puede aplicar la teoría de la perturbación dependiente del tiempo (TDPT) para calcular las correcciones a la solución no perturbada e independiente del tiempo. Esto debería estar contenido en cualquier libro sobre mecánica cuántica. De esta manera, también se pueden calcular las probabilidades y tasas de transición. Específicamente para perturbaciones periódicas, esto lleva a la regla de oro de Fermi, que a menudo se puede aplicar sin pasar por toda la maquinaria de TDPT.

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo con V=V(x,t)V=V(x,t)V=V(x,t)
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