¿Qué tipo de ecuación diferencial es la ecuación de Schrödinger? ¿Homogéneo o no homogéneo?

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¿Qué tipo de ecuación diferencial es la ecuación de Schrödinger? ¿Homogéneo o no homogéneo?

usuario103515

Sabemos que la ecuación de Schrödinger es $\hat H|\Psi\rangle=E|\Psi\rangle$ . Si escribimos el hamiltoniano $\hat H$ como $\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x)$ y luego usar $\hat p=-i\hbar\partial _x$ podemos escribir esta ecuación en base a la posición como:

\begin{matrix} (1) & [\nabla^{2} + \frac{2 metro}{ℏ^{2}} (mi - V (X))] Ψ (X) = 0 \end{matrix}

$\left [\nabla^2+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))\right ]\Psi(x)=0 \tag{1}$ Ahora podemos reorganizar la ecuación (1) para escribirla como:

\begin{matrix} (2) & [\nabla^{2} + \frac{2 metro}{ℏ^{2}} mi] Ψ (X) = \frac{2 metro}{ℏ^{2}} V (X) Ψ (X) \end{matrix}

$\left [\nabla^2+\frac{2m}{\hbar^2}E\right ]\Psi(x)=\frac{2m}{\hbar^2}V(x)\Psi(x) \tag{2}$ La ecuación (1) es una ecuación homogénea que se puede resolver exactamente analíticamente [por ejemplo, para un átomo de hidrógeno, es decir, 1 electrón en el campo potencial de 1 protón].
La ecuación (2) es solo la versión reorganizada de la ecuación (1). Pero tiene la forma de una ecuación no homogénea. Esto se puede resolver mediante el método de función de Green y la solución se ve como:

\begin{matrix} (3) & Ψ (X) = Ψ_{0} (X) + \frac{2 metro}{ℏ^{2}} \int d X {GRAMO}_{0} (X) V (X) Ψ (X) \end{matrix}

$\Psi(x)=\Psi_0 (x)+\frac{2m}{\hbar^2}\int dx\, G_0(x)V(x)\Psi(x) \tag{3}$ dónde

Ψ_{0} (x)

$\Psi_0 (x)$ es la solución de la parte homogénea"

[\nabla^{2} + \frac{2 m}{ℏ^{2}} E] Ψ_{0} (x) = 0

$\left [\nabla^2+\frac{2m}{\hslash^2}E\right ]\Psi_0(x)=0$ " de la ecuación (2) y

G_{0} (x)

$G_0(x)$ es la función de Green del operador "

[\nabla^{2} + \frac{2 m}{ℏ^{2}} E]

$\left [\nabla^2+\frac{2m}{\hslash^2}E\right ]$ ". Ahora, para encontrar la expresión de

Ψ (x)

$\Psi(x)$ de la ecuación (3) tenemos que usar la aproximación de Born y entonces no sé si podemos llegar a la solución exacta que obtenemos al resolver analíticamente la ecuación (1).

Mis preguntas son:

(A) Dado que la ecuación (1) y la ecuación (2) son la misma ecuación pero ligeramente reorganizadas, deberían tener la misma solución, por ejemplo, para el problema del átomo de hidrógeno. ¿Es posible llegar a la misma solución de estas 2 ecuaciones?

(B) Por qué nunca resolvemos la ecuación no homogénea (ecuación 2) para el problema del átomo de hidrógeno.

(C) Pero, ¿por qué resolvemos la ecuación no homogénea (ecuación 2) para el problema de dispersión?

(D) Por qué no resolvemos la ecuación homogénea (ecuación 1) para el problema de dispersión.

(E) En términos generales: ¿cuál es la diferencia básica entre una ecuación diferencial homogénea y no homogénea y cómo saber cuál resolver en qué situación física?

Respuestas (1)

¿Qué tipo de ecuación diferencial es la ecuación de Schrödinger? ¿Homogéneo o no homogéneo?

roger vadim · Answer 1

Una ecuación diferencial lineal es homogénea cuando se puede escribir en la forma

\hat{L} Ψ (X, t) = 0,

$\hat{\mathcal{L}}\Psi(x,t)=0,$ dónde

\hat{L}

$\hat{\mathcal{L}}$ es un operador diferencial, posiblemente involucrando derivadas parciales y funciones, pero independiente en

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ , ya que de lo contrario la ecuación sería no lineal. La ecuación no homogénea tendría la forma

\hat{L} Ψ (X, t) = F (X, t),

$\hat{\mathcal{L}}\Psi(x,t)=f(x,t),$ dónde

f (x, t)

$f(x,t)$ es alguna función, distinta de

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ .

Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger (dependiente e independiente del tiempo) es una ecuación homogénea, ya que siempre se puede reorganizar para tener la forma homogénea.

Un método más popular para resolver la ecuación de Schrödinger, conocido como expansión de perturbaciones , se basa en tratar esta ecuación como no homogénea, separando una parte de esta ecuación como si fuera un término externo. $f(x,t)$ . Resolviendo la parte homogénea de esta ecuación, se convierte en una ecuación integral, que luego puede iterarse infinitamente muchas veces para obtener una solución formalmente exacta de la ecuación completa. En la práctica, esta solución a) se tranca en cierto orden ( teoría de la perturbación ) o b) se usa formalmente para obtener relaciones útiles (teoría de la dispersión), o c) solo se pueden sumar subseries de esta solución (expansión de Feynmann-Dyson y métodos relacionados).

No hay necesidad de recurrir a ninguno de estos métodos en el caso de la ecuación para un átomo de hidrógeno, ya que es exactamente solucionable. Sin embargo, uno puede usarlos si hay una perturbación adicional , por ejemplo, para estudiar el átomo de hidrógeno en un campo magnético. On también podría intentar tratar el potencial de Coulomb como una perturbación de una partícula que no interactúa y posiblemente sumar la serie de perturbaciones, pero esta es una forma innecesariamente difícil de hacer las cosas.

De manera similar, para algunos problemas de dispersión, la ecuación de Schrödinger se puede resolver exactamente y no requiere el uso de métodos aproximados. La dispersión desde una barrera rectangular que se trata en la mecánica cuántica elemental es solo un ejemplo.

Gracias por la respuesta. Cuando hacemos dispersión desde un potencial central, seguimos la raíz de la ecuación no homogénea. ¿Por qué? ¿Se puede hacer también en la raíz de ecuación homogénea? (Si es posible, responda esta pregunta editando su respuesta anterior. Su respuesta ya es muy atractiva y la respuesta a esta parte la hará más completa).
Como traté de explicar, resolvemos ecuaciones usando series de perturbaciones u otros métodos aproximados cuando es imposible o difícil trabajar con una solución exacta. La mayoría de las ecuaciones diferenciales no se pueden resolver exactamente. No estoy seguro de a qué llamas "raíz"... Parece que careces de conocimientos matemáticos adecuados en ecuaciones diferenciales (particularmente ecuaciones diferenciales parciales), y te recomiendo encarecidamente que aprendas más sobre ellas; respondería la mayoría de tus preguntas.
Tienes razón sobre mi familiaridad con el PDE. "raíz" fue la palabra incorrecta que usé. Quería decir "por qué se hizo resolviendo una ecuación no homogénea". Ahora está suficientemente claro a partir de su comentario. Gracias

¿Qué tipo de ecuación diferencial es la ecuación de Schrödinger? ¿Homogéneo o no homogéneo?

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roger vadim

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