Análisis de los valores propios de la partícula en un pozo cuadrado finito

Los estados propios de la partícula en un pozo cuadrado finito 1D hamiltoniano:

$$\begin{align} H = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x) \end{align}$$

$$\begin{align} V(x) = \begin{cases} -V_0 & \text{if } |x| < a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}$$

pertenecen a valores propios dados por la siguiente expresión:

$$\begin{align} E = \frac{\hbar^2 \kappa^2}{2 m a^2} - V_0 \end{align}$$

Dónde$\kappa$es cualquier solución permitida de la siguiente ecuación:

$$\begin{align} \tan{\kappa} = \sqrt{\left(\frac{\kappa_0}{\kappa}\right)^2 - 1} \end{align}$$

y$\kappa_0$se da en términos de los parámetros del problema. Se puede mostrar trazando$\tan{\kappa}$y$\sqrt{\left(\frac{\kappa_0}{\kappa}\right)^2 - 1}$en los mismos ejes y razonando sobre el límite de los puntos de intersección entre las dos curvas como$V_0$tiende a infinito que el límite de los valores propios son (la mitad de) aquellos para el pozo cuadrado infinito.

Sería útil obtener una expresión aproximada más general para los valores propios y parece que tal expresión podría obtenerse por

1. Insertando un pequeño parámetro en la ecuación para$\kappa$

2. Expandiendo los valores permitidos de$\kappa$como una serie de perturbaciones en un pequeño parámetro$\epsilon$y sobre las soluciones limitantes

3. Sustituyendo el resultado en la ecuación por$\kappa$y expandiendo ambos lados cuidadosamente como serie taylor en$\kappa$

4. Resolviendo la ecuación resultante para los coeficientes de la serie de perturbaciones al requerir que ambos lados de la ecuación sean iguales término por término en potencias de$\epsilon$(y si tengo suerte, resumiendo la serie en$\epsilon$

Sin embargo, esto parece indeseable por dos razones

1. Sería bueno poder razonar sobre los valores límite de$\kappa$de una manera más concreta. Idealmente, uno podría usar algún tipo de representación asintótica de las soluciones para hacerlo, pero esto no puede ser posible si la serie de perturbaciones se toma sobre las soluciones asintóticas para comenzar.

2. Es poco probable que sea posible resumir la serie en$\epsilon$y por lo tanto, se puede obtener una intuición limitada sobre la forma de la solución. También es por esta razón que las soluciones numéricas no son deseables.

Por lo tanto, mi pregunta es la siguiente: ¿existe alguna otra técnica para obtener una expresión aproximada para TODOS los valores permitidos para$\kappa$? ¿Es el caso de que realmente no podemos hacer algo mejor que una solución numérica?