Encontrar los valores propios de energía del hidrógeno utilizando el enfoque WKB

Necesito ayuda para encontrar los valores propios de energía del átomo de hidrógeno usando el enfoque WKB . Hasta donde yo sé, la ecuación radial está dada por

$$\frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial R(r)}{\partial r}\right) + \frac{2 \mu}{\hbar^2} \left( E - V(r) - \frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2 \mu r^2}\right)R(r) = 0 \tag{1}$$

también sé la relación, por ecuación de la forma

$$u''(x) + k(x)^2 u(x) = 0 \tag{2}$$

la solución es de la forma (por$E<V$)

$$u(x) = \frac{C_1}{\sqrt{k(x)}} \sin \left( \int^x k(x) dx\right) + \frac{C_2}{\sqrt{k(x)}} \cos \left( \int^x k(x) dx\right)\tag{3}$$

así como la relación

$$\oint \hbar k(x) dx = \left( n + \frac 1 2 \right) \pi \hbar. \tag{4}$$

Tengo su solución en una nota escrita en clase, pero es difícilmente comprensible. ¿Cómo transformo la ecuación?$(1)$a la ecuación$(2)$y qué uso para los límites de integración en la ecuación$(4)$para obtener el valor propio de la energía?

He hecho una pregunta similar para el oscilador armónico donde los límites de integración en la ecuación$(4)$es$\pm$puntos de inflexión (solución de$E(x) = V(x)$) pero no estoy seguro acerca de este.

AÑADIDO:: Cambiando$R(r) = u(r)/r$cambios en

$$\frac{d^2u(r)}{dr^2} + \frac{2 \mu}{\hbar^2} \left( E - V(r) - \frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2 \mu r^2}\right)u(r) = 0. \tag{5}$$

Cambiando$V = -e^2/r$da

$$\int_{R_{min}}^{R_{max}} \sqrt{2 \mu \left( E + \frac{e^2}{r}- \frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2 \mu r^2}\right)}dr = \left( n + \frac 1 2\right) \hbar \pi.\tag{6}$$

Ahora, ¿para qué elijo mis límites?$r$? La respuesta final se da como

$$E_n = - \frac 1 2 \cdot \frac{\mu e^4}{\hbar^2 (n + \ell+1)^2}.\tag{7}$$