Solución aproximada para la dispersión cuántica a través de la función de Green: error y suposición

He estado tratando de pensar en alguna forma aproximada de resolver el problema de dispersión cuántica para un solo electrón que obedece a la ecuación de Schrödinger con un potencial soportado localmente:

$$\nabla^2 \Psi( \mathbf{r})+(k^2-u( \mathbf{r}))\Psi( \mathbf{r})=0$$

$$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}, \qquad u( \mathbf{r})=\frac{2mU( \mathbf{r})}{\hbar^2}$$

Se aplican las condiciones asintóticas habituales, es decir, podemos representar$\Psi( \mathbf{r})$como una suma de onda plana entrante y una onda dispersa, con la onda dispersa obedeciendo la condición de radiación de Sommerfeld. Dejar$x$Sea la dirección de la onda entrante:

$$\Psi( \mathbf{r})=e^{i kx}+\psi( \mathbf{r})$$

Sustituyendo esto, obtenemos una ecuación no homogénea:

$$\nabla^2 \psi( \mathbf{r})+(k^2-u( \mathbf{r}))\psi( \mathbf{r})=u( \mathbf{r}) e^{i kx}$$

Estoy interesado en la forma general de$u( \mathbf{r})$, no esféricamente (o axialmente) simétrica, y no quiero usar elementos finitos u otros métodos de discretización.

Así que he tratado de pensar en algunos métodos de aproximación adecuados. Y tuve la siguiente idea:

Representemos la función de onda dispersa como una suma infinita, que asumimos converge al menos a grandes distancias del potencial.

$$\psi=\psi_1+\psi_2+\psi_3+\dots$$

Deje que todos los términos obedezcan también la condición de radiación de Sommerfeld.

Ahora que obedezcan el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\nabla^2 \psi_1+k^2\psi_1=u e^{i kx}$$

$$\nabla^2 \psi_2+k^2\psi_2=u \psi_1$$

$$\nabla^2 \psi_3+k^2\psi_3=u \psi_2$$

$$\dots$$

Me parece que si sumamos toda la ecuación anterior a la serie, obedecemos a la ecuación de Schrödinger no homogénea original.

Sin embargo, resolver cada una de las ecuaciones anteriores es relativamente sencillo, a través de la función de Green, por ejemplo:

$$\psi_1( \mathbf{r})=-\int_{ \mathbb{R} ^3} G( | \mathbf{r}- \mathbf{r'} |) u( \mathbf{r'}) e^{i kx'} dV'$$

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Naturalmente, he intentado este método para el problema más simple: pozo de potencial rectangular finito 1D:

$$u=-u_0 [a \leq x \leq b]$$

La función de 1D Green para la condición de Sommerfeld es:

$$G(x)=\frac{i}{2k} e^{i k |x|}$$

Entonces obtengo la siguiente serie para$\psi(x)$para$x>b$:

$$\psi(x)=\left( \frac{i u_0}{2k}(b-a)+\frac{i^2 u_0^2}{4k^2}(b-a)^2+\frac{i^3 u_0^3}{8k^3}(b-a)^3+ \dots \right) e^{ikx}$$

O, usando series geométricas y sumando también la onda entrante, obtenemos para la onda transmitida:

$$\Psi_t (x)=\frac{1}{1-i \frac{u_0(b-a)}{2k}} e^{i kx}$$

Aquí nuestra suposición principal es que

$$\left| \frac{u_0(b-a)}{2k} \right| <1$$

La probabilidad de transmisión entonces es:

$$T(k)=\frac{4k^2}{4k^2+u_0^2 (b-a)^2}$$

Mientras tanto, la solución exacta de la ecuación de Schrödinger para este problema nos da la siguiente fórmula:

$$T(k)=\frac{4k^2}{4k^2+u_0^2 \frac{\sin^2 \left((b-a)\sqrt{k^2+u_0} \right)}{k^2+u_0}}$$

Para obtener nuestra expresión aproximada debemos usar la siguiente suposición:

$$|(b-a)\sqrt{k^2+u_0}| << 1$$

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Mi pregunta es: ¿por qué la suposición necesaria para obtener esta solución aproximada es diferente y más fuerte que la suposición que usé para sumar la serie? ¿Cuáles son las suposiciones ocultas que parece haber hecho que influyeron en este resultado?

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Me parece que dado que en la expresión aproximada para$T(k)$no obtenemos ninguna resonancia (es decir, estados vinculados virtuales) y la segunda condición parece ser que la longitud de onda de la partícula es mucho mayor que el ancho del pozo, entonces probablemente no pueda usar las condiciones de Sommerfeld para todas las funciones$\psi_k$como lo hice. ¿Es esto correcto?