Sobreyecciones continuas entre espacios no homeomorfos

Question

Sobreyecciones continuas entre espacios no homeomorfos

análisis
Matemáticas
topología general

Ujan Chakraborty

Es muy fácil dar ejemplos de espacios topológicos. $A$ y $B$ que no son homeomorfos entre sí, con una inyección continua de $A$ a $B$ , y una inyección continua de $B$ a $A$ . Véase, por ejemplo $(0,1)$ y $[0,1]$ , como se demuestra en la respuesta a una pregunta similar en este foro, o esta pregunta relacionada . En otras palabras, existen espacios topológicos que no satisfacen la propiedad de Cantor-Schroeder-Bernstein , al considerar aplicaciones inyectivas. Me preguntaba si esto falla al considerar también los mapas sobreyectivos. Es decir, dados dos espacios topológicos $A$ y $B$ , si existe una sobreyección continua de $A$ a $B$ , y una sobreyección continua de $B$ a $A$ , debe $A$ y $B$ ser homeomórficos entre sí? Creo que esto no debería ser cierto: debería haber un contraejemplo simple, ¡pero no puedo encontrar uno! Sería genial tener un contraejemplo para espacios de Hausdorff localmente compactos, porque eventualmente quiero entender los problemas con la propiedad de Cantor-Schroeder-Bernstein para $C^\star$ álgebras...

Alessandro Codenotti

[0, 1]

$[0,1]$ y

[0, 1]^{2}

$[0,1]^2$

bof

N

$\mathbb N$ y

N \times Q

$\mathbb N\times\mathbb Q$

bof

Ups, querías localmente compacto. DE ACUERDO,

N

$\mathbb N$ y

N \times X

$\mathbb N\times X$ dónde

X

$X$ es un espacio de Hausdorff compacto contablemente infinito.

Henno Brandsma

Esta pregunta en otro sitio de intercambio de pila de matemáticas es casi un duplicado. (Es más fuerte ya que pide dos biyecciones continuas entre espacios no homeomorfos).

Ujan Chakraborty

@HennoBrandsma, ¡Ah, ya veo! El enlace que proporcionó ciertamente responde a mi pregunta, así como también proporciona una comprensión más profunda sobre mi motivo ulterior: CSB para espacios topológicos (y eventualmente C * Algebras, espero ...) ¡Muchas gracias!

bof

Dos espacios cualesquiera que sean contables, de dimensión cero y no compactos.

Respuestas (2)

Sobreyecciones continuas entre espacios no homeomorfos

Ups, querías localmente compacto. DE ACUERDO, $\mathbb N$ y $\mathbb N\times X$ dónde $X$ es un espacio de Hausdorff compacto contablemente infinito.
Esta pregunta en otro sitio de intercambio de pila de matemáticas es casi un duplicado. (Es más fuerte ya que pide dos biyecciones continuas entre espacios no homeomorfos).
@HennoBrandsma, ¡Ah, ya veo! El enlace que proporcionó ciertamente responde a mi pregunta, así como también proporciona una comprensión más profunda sobre mi motivo ulterior: CSB para espacios topológicos (y eventualmente C * Algebras, espero ...) ¡Muchas gracias!
Dos espacios cualesquiera que sean contables, de dimensión cero y no compactos.

Kavi Rama Murthy · Answer 1

Hay un ejemplo simple con $A$ y $B$ ambos compactos!

$[0,2\pi]$ no es homeomorfo a $S^{1}$ . La función $t \mapsto (\cos t,\sin t)$ es una sobreyección continua de $[0,2\pi]$ sobre $S^{1}$ , mientras que la función $(x,y) \mapsto \pi (1+x)$ es una sobreyección continua de $S^{1}$ sobre $[0,2\pi]$ .

jose carlos santos · Answer 2

Llevar $\Bbb R$ y $[0,\infty)$ , con sus topologías habituales. No son homeomorfos. Pero

\begin{array}{ccc} R & ⟶ & [0, \infty) \\ X & \mapsto & X^{2} \end{array}

$\begin{array}{ccc}\Bbb R&\longrightarrow&[0,\infty)\\x&\mapsto&x^2\end{array}$ y

\begin{array}{ccc} [0, \infty) & ⟶ & R \\ X & \mapsto & X pecado (X) \end{array}

$\begin{array}{ccc}[0,\infty)&\longrightarrow&\Bbb R\\x&\mapsto&x\sin(x)\end{array}$ son continuas y sobreyectivas.

Sobreyecciones continuas entre espacios no homeomorfos

Ujan Chakraborty

Alessandro Codenotti

bof

bof

Henno Brandsma

Ujan Chakraborty

bof

Respuestas (2)

Kavi Rama Murthy

jose carlos santos

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