¿Qué es un subconjunto abierto de XXX?

De Principios de análisis matemático de Walter Rudin Ed. 3.

2.29 Observación Supongamos mi ⊂ Y ⊂ X dónde X es un espacio métrico. Para decir eso mi es un subconjunto abierto de X significa que a cada punto pag ∈ mi hay asociado un numero positivo r tal que las condiciones d ( pag , q ) < r , q ∈ X implica que q ∈ mi .

Mi entendimiento es que mi es un subconjunto abierto de X si por todo pag ∈ mi , existe r > 0 tal que todo q ∈ X con d ( pag , q ) < r es en mi . Es decir, cada pag ∈ mi tiene un vecindario que contiene solo elementos de X eso también está en mi .

¿Es esto equivalente a la observación 2.29?

¿Por qué afirmar? q ∈ X implica que q ∈ mi "en lugar de solo" q ∈ mi "?

" q ∈ X implica que q ∈ mi "es cierto si q ∉ X y q ∉ mi , por lo que las condiciones se cumplen si d ( pag , q ) < r ∧ q ∉ X ∧ q ∉ mi , pero esto parece irrelevante cuando se mencionan subconjuntos de X .

No utilice imágenes para transmitir información clave sobre la publicación. Ver aquí para una explicación de por qué. Este es un extracto muy breve y puede escribirlo fácilmente; Por favor, hazlo.
mi pregunta es porque es Y ¿aún allí? Creo que tal vez lo que se pretendía era 2.29 Observación Supongamos mi ⊂ Y ⊂ X dónde X es un espacio métrico. Para decir eso mi es un subconjunto abierto de Y significa que a cada punto pag ∈ mi hay asociado un numero positivo r tal que las condiciones d ( pag , q ) < r , q ∈ Y implica que q ∈ mi .
Tenga en cuenta que el verbo allí es "implicar", no "implica" --- es la conjugación de la tercera persona del plural . Hay dos condiciones que, juntas, implican la conclusión. Si Rudin simplemente dijera " d ( pag , q ) < r implica q ∈ mi ", entonces deja la pregunta "¿Dónde q vive?" La oración podría traducirse más fácilmente como "... la condición d ( pag , q ) < r dónde q ∈ X implica que q ∈ mi ."
Pero, como dice @robjohn, también estoy confundido por la inclusión de Y , y me pregunto si falta algo aquí...
He encontrado el material relevante, y el truncamiento del comentario causa confusión aquí. En este comentario, Rudin explica la diferencia entre un conjunto abierto y un conjunto relativamente abierto. El comentario continúa: "Pero ya hemos observado (Sec. 2.16) que Y es también un espacio métrico, por lo que nuestras definiciones pueden igualmente hacerse dentro de Y . Para ser bastante explícito, digamos que mi está abierto en relación con Y si a cada uno pag ∈ mi hay asociado un r > 0 tal que q ∈ mi cuando sea d ( pag , q ) < r y q ∈ Y ...
"... El ejemplo 2.21 (g) mostró que un conjunto puede ser abierto en relación con Y sin ser un subconjunto abierto de X . Sin embargo, existe una relación simple entre estos conceptos, que ahora establecemos.” (Rudin luego continúa con el Teorema 2.30).

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Esto es exactamente equivalente, Rudin básicamente dice que si estás más cerca de pag que ese radio en particular y usted es un punto de X , entonces significa que estás en mi : en términos más sencillos, significa que para cada punto en el conjunto abierto siempre se puede encontrar una bola abierta de un radio pequeño tal que esta bola está toda contenida en mi .

Tu última condición d ( pag , q ) < r ∧ q ∉ X ∧ q ∉ mi me parece un poco contradictorio. Ningún punto puede satisfacer tanto la primera como la segunda condición.

Dejar X Sea el intervalo abierto ( 1 , 3 ) y mi ser (1, 2). Elegir pag = 1.01 , q = 0.99 , r = 0.5 . Entonces d ( pag , q ) < r ∧ q ∉ X ∧ q ∉ mi , pero mi es un subconjunto abierto de X .
Veo tu punto, pero implícitamente estás suponiendo que trabajas en R , y eso X ⊂ R . De lo contrario, ni siquiera podrías definir d ( pag , q ) desde q no está dentro X . Aquí entra en juego el concepto de topología del subespacio, pero es más técnico que esto.
Veo. Estamos usando d ( pag , q ) como se define en X ya que decimos " mi es un subconjunto abierto de X ". Si decimos" mi es un subconjunto abierto de k ", entonces usamos d ( pag , q ) definido en k .
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