¿Es un intervalo real cerrado y acotado un espacio de Hausdorff localmente compacto?

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¿Es un intervalo real cerrado y acotado un espacio de Hausdorff localmente compacto?

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MadcowD

¿Esto se sostiene? Me ha confundido el enunciado del teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani; es decir, la formulación es la siguiente:

Dejar $X$ Sea un espacio de Hausdorff localmente compacto. Para cualquier funcional lineal positivo $\psi$ en $C_c(X)$ , existe una única medida regular de Borel $\mu$ en $X$ tal que

$ψ (F) = \int_{X} F (X) d m (X)$ $\psi(f) = \int_X f(x) \, d \mu(x) \quad$ para todos $f$ en $C_c(X)$ .

mientras que Riesz probó simplemente que

Todo funcional lineal continuo $A[f]$ sobre el espacio $C([0, 1])$ de funciones continuas en el intervalo $[0,1]$ se puede representar en la forma

$A [F] = \int_{0}^{1} F (X) d α (X),$ $A[f] = \int_0^1 f(x)\,d\alpha(x),$ dónde $α(x)$ es una función de variación acotada en el intervalo [0, 1], y la integral es una integral de Riemann-Stieltjes.

Leer esto me llevó a creer que la formulación anterior, más general, se mantendría con cualquier intervalo acotado cerrado en $\mathbb{R}$ .

Cualquier ayuda sería apreciada.

Brian M Scott

Todo subconjunto convexo de orden de

R

$\Bbb R$ , cerrado o no, acotado o no, es localmente compacto y Hausdorff en la topología que hereda de

R

$\Bbb R$ . Eso significa todos los intervalos, abiertos, cerrados o semiabiertos, y todos los rayos, abiertos o cerrados.

MadcowD

¿Entonces los intervalos cerrados son compactos y Hausdorff? @BrianM.Scott

Brian M Scott

Sí, eso es correcto.

Respuestas (1)

¿Es un intervalo real cerrado y acotado un espacio de Hausdorff localmente compacto?

Todo subconjunto convexo de orden de $\Bbb R$ , cerrado o no, acotado o no, es localmente compacto y Hausdorff en la topología que hereda de $\Bbb R$ . Eso significa todos los intervalos, abiertos, cerrados o semiabiertos, y todos los rayos, abiertos o cerrados.
¿Entonces los intervalos cerrados son compactos y Hausdorff? @BrianM.Scott

triple sec · Answer 1

Sí.

Claramente, $\mathbb R$ es Hausdorff cuando está dotado de la topología euclidiana (después de todo, es un espacio métrico), y cualquier subespacio topológico de un espacio de Hausdorff es Hausdorff con respecto a la topología relativa. Para ver esto, deja $(X,\tau)$ sea un espacio topológico de Hausdorff y $Y\subseteq X$ un subconjunto no vacío (nota: $Y$ no es necesario que esté abierto). Dotar $Y$ con la topología relativa:

τ_{Y} \equiv {tu \cap Y | tu \in τ} .

$\tau_Y\equiv\{U\cap Y\,|\,U\in\tau\}.$ Ahora, elige cualquier par distinto

u \in Y

$u\in Y$ y

v \in Y

$v\in Y$ . Desde

X

$X$ es Hausdorff, existen subconjuntos abiertos disjuntos

U

$U$ y

V

$V$ de

X

$X$ tal que

u \in U

$u\in U$ y

v \in V

$v\in V$ . También,

u \in U \cap Y

$u\in U\cap Y$ y

v \in V \cap Y

$v\in V\cap Y$ , y

U \cap Y

$U\cap Y$ y

V \cap Y

$V\cap Y$ son disjuntos. También están abiertos con respecto a la topología relativa por definición. Resulta que

(Y, τ_{Y})

$(Y,\tau_Y)$ es Hausdorff.

Por lo tanto, $[a,b]$ es un espacio de Hausdorff siempre que $a\in\mathbb R$ , $b\in\mathbb R$ , y $a<b$ (cuando está dotado de la topología relativa).

Además, $[a,b]$ es compacto (es cerrado y acotado, cf. el teorema de Heine-Borel). Ahora bien, todo espacio compacto es localmente compacto. ¿Por qué? Dejar $(X,\tau)$ Sea un espacio topológico compacto y tome cualquier $x\in X$ . Hace $x$ ¿Tienes un vecindario compacto? Solo toma todo el conjunto $X$ !

¿Es un intervalo real cerrado y acotado un espacio de Hausdorff localmente compacto?

MadcowD

Brian M Scott

MadcowD

Brian M Scott

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triple sec

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