¿Continuo f:R→Rnf:R→Rnf:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n con imagen densa es sobreyectivo?

No,$f$no necesita ser sobreyectiva. No es demasiado difícil imaginar una curva similar a la de un espacio que omita puntos aislados.

De hecho, tome cualquier curva que llene el plano y mapéela en una nueva curva en el plano por medio del mapa exponencial complejo$z\mapsto e^z$. Esto llena el espacio, excepto que nunca toca el origen.

Aún más, si toma una curva que llena el espacio y mapea su$y$-componente a través de la$\arctan$función obtienes una curva que llena la tira$\Bbb R\times(-\pi/2,\pi/2)$. Si luego mapeas esto a través de$z\mapsto e^{2z}$, obtienes un mapa continuo con una imagen densa que pierde toda la recta numérica real negativa.

No, una función continua con imagen densa no es necesariamente sobreyectiva. Consideremos una secuencia de puntos$(x_n)_{n\in {\bf N}}$que es denso en${\bf R}^n$. Considere la función que envía el intervalo$[n,n+1]$al segmento$[x_n, x_{n+1}]$. Esto da una función de$[0, \infty)$a${\bf R}^n$cuya imagen contiene el conjunto denso de puntos${x_n}$y está contenido en una unión contable de líneas rectas.

Una unión contable de líneas rectas tiene un complemento denso por el teorema de la categoría de Baire . Tenga en cuenta también que una unión contable de líneas rectas es de cero medida de Lebesgue bidimensional. Tiene área cero.