problema 4, cap. 4 en Baby Rudin: una imagen continua de un subconjunto denso es denso en el rango.

(1). Una de varias definiciones equivalentes de continuidad es que$f:X\to Y$es continua iff siempre que$E\subset X$y$p\in Cl_X(E),$tenemos$f(p)\in Cl_Y(f(E)).$En otras palabras, si

$$f(Cl_X(E))\subset Cl_Y(f(E))$$ para todos $E\subset X.$

Así que si$f:X\to Y$es continuo y$Cl_X(E)=X$entonces

$$f(X)=f(Cl_X(E))\subset Cl_Y(f(E)) \land f(E)\subset f(X)$$ entonces $f(E)$es denso en $f(X)$. Esto es válido para todos los espacios. $X,Y.$

(2). La segunda Q es diferente. Si$Y$es un espacio de Hausdorff y$X$es cualquier espacio, y$f:X\to Y,\;g:X\to Y$son continuos entonces$\{p\in X: f(p)=g(p)\}$es cerrado en X. Equivalentemente el conjunto

$$S=\{p\in X:f(p)\ne g(p)\}$$ está abierto en $X.$

Prueba: Deja$a\in S$. Existen subconjuntos abiertos disjuntos$U,V$de$Y$con$f(a)\in U$y$g(a)\in Y.$(Porque Y es Hausdorff y$f(a)\ne g(a)).$Ahora$f$y$g$son continuos, entonces existen conjuntos abiertos$U',V'$de$X$con$a\in U'$y$a\in V' ,$tal que$f(U')\subset U$y$f(V')\subset V.$Entonces el conjunto

$$W=U'\cap V'$$ está abierto en $X$y contiene $a,$y por cada $b\in W$tenemos $f(b)\ne g(b).$( Porque $f(b)\in U$y $g(b)\in V$y $U\cap V=\phi.)$. Entonces $W\subset S.$

Es decir, para cualquier$a\in S$hay un conjunto abierto$W$de$X$con$a\in W \subset S,$entonces$S$está abierto en$X$.

COROLARIO: Deja$Y$ser Hausdorff y dejar$X$ser cualquier espacio. Si$f,g$son continuos de$X$a$Y$y de acuerdo en un subconjunto denso$E$de$X$entonces$f=g.$Porque

$$\{a\in X:f(a)=g(a)\}=Cl_X\{a\in X: f(a)=g(a)\}\supset Cl_X(E)=X.$$

(3).Para ver un ejemplo de lo que puede ocurrir cuando$Y$NO es Hausdorff dejar$X=Y=\{0,1\}$donde están los únicos conjuntos abiertos$\phi,\{0\}$y$\{0,1\}.$(Esto se llama espacio de Sierpinski.) Sea$f=id_X$y$g(X)=\{0\}.$Entonces$f$y$g$son continuas y concuerdan en el conjunto denso$\{0\}$pero$f\ne g.$

Hay otros ejemplos (más complicados) con$T_1$espacios$Y$que no son$T_2$espacios..

Con respecto a su primera pregunta, sí, su prueba es correcta.

Para la segunda pregunta, debe suponer que$Y$es un espacio de Hausdorff , es decir, dados dos puntos cualesquiera$x \neq y$, puedes encontrar conjuntos abiertos disjuntos$U$y$V$tal que$x \in U$y$y \in V$.

Argumentar por contradicción: dejar$f(x) \neq g(x)$para algunos$x \in X$. Elija conjuntos abiertos disjuntos$U, V$tal que$f(x) \in U$y$g(x) \in V$. Entonces

$$W := f^{-1}(U) \cap g^{-1}(V)$$ está abierto en $X$y no vacío, porque contiene $x$. De este modo $W \cap E$no está vacío, porque $E$es denso Ahora, $f|W\cap E = g|W \cap E$por suposición, contradiciendo que $U$y $V$son disjuntos.