Si cada métrica en un conjunto X es equivalente a la métrica discreta, ¿podemos decir que X es un conjunto finito?

Asumiendo (una forma débil de) el axioma de elección , sí, esto es cierto.

Específicamente, del axioma de elección se sigue que si$X$es infinito entonces hay una inyección$f:\mathbb{Q}\rightarrow X$(claro que esto$f$no es único en ningún sentido). En consecuencia, asumiendo la elección, tenemos que todo conjunto infinito puede equiparse con una métrica para que tenga un subespacio isométrico a$\mathbb{Q}$.

Con un poco más de detalle, dado tal$f$, podemos definir una métrica no discreta$d$en$X$como sigue:

• Si$a\not\in ran(f)$entonces, por cada$b\in X$otro que$a$mismo, establecemos$d(a,b)=d(b,a)=2$.

• Mientras tanto, por$m,n\in\mathbb{Q}$establecimos$d(f(m),f(n))=\min\{\vert m-n\vert, 1\}$.

Básicamente,$(X,d)$parece una copia "truncada" de$\mathbb{Q}$con un montón de puntos discretos dispersos a su alrededor, ¡y ciertamente no es discreto!

(Tenga en cuenta que esto en realidad no obtiene una métrica en$X$con un subespacio isométrico a$\mathbb{Q}$; conseguir eso es un buen ejercicio.)

Sin embargo, si no asumimos el axioma de elección, las cosas pueden ser más extrañas: es consistente con$\mathsf{ZF}$(= teoría de conjuntos sin elección) que hay conjuntos infinitos que no se pueden dividir en dos subconjuntos infinitos. Dichos conjuntos, llamados conjuntos amorfos , no pueden admitir una métrica no discreta; este es un buen ejercicio.