El producto cartesiano de dos espacios métricos completos es completo

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El producto cartesiano de dos espacios métricos completos es completo

análisis
Matemáticas
análisis real
topología general

Rishi

Este es un problema en el que estoy atascado y que nuestro profesor nos dio para practicar más (no es tarea, pero se recomienda que entendamos cómo probarlo).

Sabemos que X e Y son espacios métricos completos y necesitamos demostrar que $X \times Y$ Esta completo. Estoy realmente perdido en la técnica de prueba. Nos dieron un esquema de la siguiente manera, pero solo pude entender completamente (1). Sin embargo, la parte 3 es en lo que realmente nos hemos quedado atascados. Me preguntaba si alguien podría dar una prueba para, por ejemplo, un espacio más específico donde $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{R}$ , para que pudiera entender el principio.

contorneado:

1) Demuestra que $d_{X \times Y} ( (a_1,b_1) , (a_2,b_2)) = \max \{ d_X (a_1,a_2) , d_Y (b_1, b_2)\}$ es una métrica.

2) Demostrar que esto da la topología del producto en $X \times Y$ .

3) Demostrar que si $a_n, b_n$ son sucesiones de Cauchy, donde $a_n \in X$ y $b_n \in Y$ , entonces $(a_n,b_n )$ es Cauchy.

Rishi

Muchas gracias por todas las aclaraciones. Realmente me están ayudando a tener una mejor idea de este tipo de problema, en particular del tipo que involucra productos cartesianos de dos espacios.

stefano

1) es un poco extraño. Puedes demostrar eso

d_{X \times Y}

$d_{X\times Y}$ es una métrica. Que sea el producto métrico, no es un teorema, sino una definición. Además, no es la única definición razonable. Nótese, por ejemplo, que para

X = Y = R

$X=Y=\mathbb{R}$ ,

d_{X \times Y}

$d_{X\times Y}$ no es la distancia euclidiana "natural".

Respuestas (4)

El producto cartesiano de dos espacios métricos completos es completo

Muchas gracias por todas las aclaraciones. Realmente me están ayudando a tener una mejor idea de este tipo de problema, en particular del tipo que involucra productos cartesianos de dos espacios.
1) es un poco extraño. Puedes demostrar eso $d_{X\times Y}$ es una métrica. Que sea el producto métrico, no es un teorema, sino una definición. Además, no es la única definición razonable. Nótese, por ejemplo, que para $X=Y=\mathbb{R}$ , $d_{X\times Y}$ no es la distancia euclidiana "natural".

Agustí Roig · Answer 1

En cuanto a (2), basta probar que las bolas producidas por la distancia $d_{X\times Y}$ son una base para la topología del producto.

Así que anotemos qué es una pelota para la distancia. $d_{X\times Y}$ con centro $(a,b)$ y radio $\varepsilon > 0$ :

B_{X \times Y} ((a, b); ε) = {(X, y) \in X \times Y | d_{X \times Y} ((a, b), (X, y)) = máximo {d_{X} (a, X), d_{Y} (b, y)} < ε} .

$B_{X\times Y}((a,b); \varepsilon) = \left\{ (x,y) \in X\times Y \ \vert \ d_{X\times Y} ((a,b), (x,y))= \max \left\{ d_X(a,x) , d_Y (b,y) \right\} < \varepsilon \right\} \ .$

Pero

máximo {d_{X} (a, X), d_{Y} (b, y)} < ε ⟺ d_{X} (a, X) < ε y d_{Y} (b, y) < ε .

$\max \left\{ d_X(a,x) , d_Y (b,y) \right\} < \varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad d_X(a,x) <\varepsilon \ \text{and} \ d_Y(b,y) < \varepsilon \ .$

Por lo tanto vemos que

B_{X \times Y} ((a, b); ε) = B_{X} (a; ε) \times B_{Y} (b; ε) .

$B_{X\times Y }((a,b); \varepsilon)\ = \ B_X (a;\varepsilon ) \times B_Y (b; \varepsilon ) \ .$

Es decir: una pelota para la distancia $d_{X \times Y}$ es lo mismo que un producto de bolas por las distancias $d_X$ y $d_Y$ . Lo que significa que bolas para la distancia $d_{X\times Y}$ forman una base para la topología del producto.

ross milikan · Answer 2

Para 3) si le dan un $\epsilon$ , puedes encontrar $N$ tal que $|a_n-a_m|<\epsilon \text{ if } n,m>N$ y de manera similar para $M$ y el $b$ serie. No $\max{(N,M)}$ dar un limite que $|(a_n,b_n)-(a_m,b_m)|<\epsilon$ ?

Es $3)$ cierto para las sucesiones de Cauchy en general (es decir, para cualquier par de espacios métricos)?
@TaylorRendon: Sí, nunca usamos que los espacios estén completos. Si no están completos, la secuencia puede no tener límite, pero la secuencia sigue siendo Cauchy.

usuario1736 · Answer 3

Si ${a_n}$ , ${b_n}$ son Cauchy, entonces para algún N, $d_X(a_n,a_m) < \epsilon$ , $d_Y(b_n,b_m) < \epsilon$ cuando $n,m \geq N$ . Debido a esto, $d_{X \times Y} ((a_n,b_n),(a_m,b_m)) < \epsilon$ para $n,m \geq N$ .

fernando kasun · Answer 4

En realidad, si queremos probar que un espacio producto es completo, entonces tenemos que tomar una sucesión de Cauchy del espacio producto y luego mostrar que converge en un punto en él.

Obsérvese que para todos $a_1, a_2 \in X$ y $b_1, b_2 \in Y,$ $d_X (a_1,a_2) \leq \max \{ d_X (a_1,a_2) , d_Y (b_1, b_2)\}\tag1$ $d_Y (b_1,b_2) \leq \max \{ d_X (a_1,a_2) , d_Y (b_1, b_2)\} \tag2$ .

Supongamos que tenemos una sucesión de Cauchy $((a_n, b_n))$ en $X \times Y$ . entonces dado $\epsilon > 0$ allí existe $N$ tal que para todos $n,m \geq N$ tenemos $\max \{ d_X (a_n,a_m) , d_Y (b_n, b_m)\} < \epsilon$

Debido a $(1)$ y $(2)$ tenemos $d_X (a_n,a_m) < \epsilon$ y $d_Y (b_n,b_m) < \epsilon$ para todos $n,m \geq N$ lo que implica que $(a_n)$ y $(b_n)$ son Cauchy en $X$ y $Y$ respectivamente. Desde $X$ y $Y$ ambos estan completos $(a_n)$ converge a algunos $a \in X$ y $(b_n)$ converge a algunos $b \in Y$ y por lo tanto $(a,b) \in X \times Y.$

Ahora se trata de demostrar que $((a_n, b_n))$ converge a $(a,b)$ en $X \times Y$ que es fácil de hacer ya que $\lim_{n \to \infty }d_{X \times Y} ( (a_n,b_n) , (a,b)) = \lim_{n \to \infty } \max \{ d_X (a_n,a) , d_Y (b_n, b)\} = 0.$

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Rishi

Rishi

stefano

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Agustí Roig

ross milikan

Taylor Rendón

ross milikan

usuario1736

fernando kasun

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