¿Cómo encontrar puntos límite para este conjunto?

Ha encontrado uno de los puntos límite correctamente. Como pista para más: ¿Qué pasa si arreglas$a$y deja$b\to\infty$?

Queda por demostrar que todos estos son puntos límite, es decir, si$x>0$y$\frac1x\notin \mathbb N$, el$x$no es un punto límite. Para tal$x$puedes encontrar$n\in\mathbb N$con$\frac1{n+1}<x<\frac 1n$. Entonces busca$m$con$\frac1m<x-\frac1{n+1}$. Ahora si$\epsilon$es lo suficientemente pequeño, es decir$<\frac1n-x$y$<x-\frac1{n+1}-\frac1m$, entonces una gran cantidad de$S$son vistos inmediatamente por más de$\epsilon$: Todo con$a\le n$y$b\le n$así fue todo con$a\ge m$o$b\ge m$. Esto debería ayudarte a ver cómo hacer$\epsilon$un poco más pequeño si es necesario.

CONSEJOS:$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$Para$n\in\Bbb Z^+$dejar

$$S_n=\left\{\frac1n+\frac1k:k\in\Bbb Z^+\right\}\;.$$

1. Claramente$S_n\subseteq S$, por lo que cada punto de acumulación de$S_n$es un punto de acumulación de$S$; ¿Cuál es el único punto de acumulación de$S_n$?

2. Para$n\in\Bbb Z^+$dejar$p_n$ser el único punto de acumulación de$S_n$, y deja$P=\{p_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Cada punto de acumulación de$P$es un punto de acumulación de$S$; ¿por qué? ¿Cuál es el único punto de acumulación de$P$?

3. Muestra esa$\cl P$es el conjunto de puntos de acumulación de$S$.

en visualizar$S$, puede resultarle útil demostrar que para cada$n>1$,

$$S_n\setminus\left(\frac1n,\frac1{n-1}\right)$$ es finito (e incluso puedes calcular exactamente cuántos elementos tiene). En otras palabras, $S_n$es casi un subconjunto del intervalo $\left(\frac1n,\frac1{n-1}\right)$. Esto hace que sea mucho más fácil ver dónde están los puntos de acumulación.