¿Podría el 'Si P entonces Q' ser interpretado como 'Si se supone que P es verdadero entonces Q es verdadero'? Esto podría explicar por qué una proposición falsa implica cualquier proposición, según Raymond Smullyan. Si P es una proposición falsa y se supone que P es verdadera (cuando en realidad es falsa), esto introduce una paradoja a partir de la cual se puede implicar cualquier proposición.
Hay dos nociones a distinguir aquí: consecuencia lógica (⊢) vs implicación material (→), cada una de las cuales, en lógica clásica, tiene la propiedad inusual de explosión , que podemos resumir como:
⊢–Explosión. {S,¬S} ⊢ Q, para cualquier Q.
→–Explosión. Bajo la asignación v(S) = ⊥: S → Q, para cualquier Q.
1La →–Explosión se sigue simplemente de la definición de → en términos de disyunción y negación:
(φ → ψ) = gl (¬φ ∨ ψ),
porque siempre que la asignación de verdad v sea tal que v(φ) = ⊥, entonces se sigue φ ∨ ψ, para cualquier ψ. Demostración teóricamente, cada vez que se prueba ¬φ, puede ∨-introducir ¬φ ∨ ψ donde ψ puede ser cualquier oración. La razón por la que explota la consecuencia clásica es un poco más interesante.
2De acuerdo con la interpretación tarskiana habitual de la consecuencia lógica:
Consecuencia lógica. Γ ⊢ φ es verdadero si y solo si es imposible hacer que todos los ψ ∈ Γ sean verdaderos y φ falsos.
Siempre que tengas una oración S ∈ Γ st ¬S también en Γ, tienes la oración (S ∧ ¬S) ∈ Γ. Considere una oración arbitraria Q; ¿Es Q una consecuencia lógica de Γ, dado que Γ contiene una conjunción tan inconsistente? Apelemos a la definición anterior:
{S, ¬S,...,S n } ⊢ Q es verdadero si y solo si es imposible hacer todo S, ¬S,...,S n verdadero y Q falso.
Dado que S y ¬S son inconsistentes, ambos no pueden hacerse verdaderos, por lo tanto, cualquier otra cosa que pueda estar contenida en Γ y cualquier cosa que pueda ser Q, se sigue que {S, ¬S,...,S n } ⊢ Q. Es un subproducto inmediato de la definición clásica de consecuencia.
Hay, por supuesto, muchas lógicas no explosivas, como la lógica de relevancia de Belnap y Anderson, en la que no se permite que siga una Q arbitraria de una contradicción porque la implicación tiene que cumplir requisitos especiales de 'relevancia'. Mire el último artículo de SEP para obtener detalles sobre cómo funciona exactamente. Más relevante aún, hay muchas lógicas paraconsistentes creadas específicamente para manejar esta llamada 'paradoja' de implicación material. Vale la pena echarle un vistazo.
prash