¿Cómo puedo probar que cualquier grupo de puntos creado después de que exista un solo punto debe existir en el mismo lugar? [cerrado]

No no no no no.

No.

Los puntos y lugares no funcionan de esa manera.

Un elemento de un conjunto X se considera un punto cuando se define un espacio topológico sobre ese conjunto. No se crea el punto en sí mismo más que se crean los conjuntos en sí mismos -lo que ocurre más bien es que se pone sobre la mesa una serie adicional de subdivisiones de la totalidad de elementos que nos interesan para que sirvan de Topología, y es en virtud de las subdivisiones aceptamos que consideramos algo un punto.

¿Es posible definir un espacio topológico que pueda trivializar totalmente todos los puntos y colapsar cualquier tipo de distinción allí? Por supuesto que lo es: la topología puede consistir simplemente en el conjunto completo X y el conjunto vacío como las únicas particiones que admite. Pero esto no es un acto de crear nuevos puntos, sino que es solo una elección consciente para filtrar cualquier otra forma más detallada de conjuntos individualizados que puedan formar una base más interesante o complicada para nuestra topología.

Lo que parece estar haciendo es afirmar sin pruebas ni aclaraciones que uno está limitado a ver todas las formas de topología dentro de los límites de un caso bidimensional y discreto. Pero los matemáticos tienen una tecnología lógica que les permite sortear las dificultades de la teoría estándar de primer orden con referencia a los Vecindarios . El lenguaje de la teoría de conjuntos nos permite identificar y caracterizar subespacios, dentro de los cuales se pueden cuantificar puntos individuales como parte de los conjuntos abiertos que conforman la topología sobre nuestro espacio. Dado que estos subespacios pueden individualizarse en la teoría de conjuntos y razonarse sobre ellos, las funciones a las que apelamos pueden actuar sin fijarse en puntos particulares que queremos colocar en lugares exactos sin renunciar por ello a la idea de que la topología en sí misma está compuesta por puntos individuales.

Entonces, con un lenguaje de funciones continuas sobre espacios topológicos, de hecho hay una manera de describir espacios utilizando nuestro lenguaje de base discreta que no colapsa en puntos únicos; además es un lenguaje inmensamente rico que nos da acceso a tal diversidad de formas de explicar los espacios en los que nos encontramos y las superficies sobre las que nos encontramos.

La clave es no asumir que las únicas dos cosas que importan son todo y nada.

Necesita más restricciones para que este sea un ejercicio significativo. Simplemente tomémoslo de manera abstracta: aquí hay un universo con un punto: {foo}. Aquí hay un universo con dos puntos: {foo, bar}. ¿ Tienen algo fooque barver el uno con el otro de alguna manera? Tal vez no. Tal vez estén efectivamente en existencias separadas, pero somos conscientes de ambos. ¿Qué significa "junto a" cuando solo tienes un fooy bar?

Entonces, para comenzar, debe definir algún tipo de métrica de distancia para que "junto a" incluso tenga sentido, y decir algo más sobre las propiedades de estos puntos para justificar por qué le importa lo que significa "junto a".

Por ejemplo, en el espacio de las leyes físicas matemáticas, si solo tiene f = -G*m*M/r^2, y agrega E = m*c^2, apenas parece significativo considerar siquiera la proximidad entre estas dos ecuaciones.