¿Por qué no podemos simplemente decir que la oración mentirosa no expresa una proposición?

Me parece a mí ya muchos otros que podemos resolver la paradoja del mentiroso diciendo que la oración del mentiroso "Esta oración es falsa" no expresa una proposición. Sin embargo, tanto el IEP como el SEP afirman que tal solución a la paradoja del mentiroso es derrotada por un mentiroso fortalecido:

(i) Esta oración es falsa o no tiene sentido. (PEI)

(ii) Esta oración no expresa una proposición verdadera. (SEP)

Uno presumiblemente derivaría una contradicción analizando, digamos, (ii), así: si (ii) expresa una proposición verdadera, entonces, dado que dice que no expresa una proposición verdadera, se sigue que no expresa una proposición verdadera . Contradicción. Si (ii) no expresa una proposición verdadera, entonces, dado que dice que no expresa una proposición verdadera , se sigue que expresa una proposición verdadera. Contradicción.

La falla en el análisis, a mi modo de ver, está en negrita: (ii) ¡no dice nada! Es muy parecido a "¿Cuántos años tienes?" o "weofjwojiajzoijfeowi". Eso es esencialmente lo que significa no expresar una proposición.

También se afirma en el artículo del IEP vinculado que decir la Oración del mentiroso no tiene sentido simplemente porque "de lo contrario obtenemos una paradoja" es un comentario ad hoc y, por lo tanto, no es una solución. Sin embargo, cualquier teórico de conjuntos le dará precisamente esa explicación cuando se le pregunte "¿Por qué no podemos formar conjuntos de la forma {x: φ(x)} para fórmulas arbitrarias φ?". Y la gente parece estar satisfecha con esa respuesta.

Así como se abandona la noción ingenua de formar conjuntos por comprensión ilimitada porque conduce a la contradicción, también debería abandonarse la noción ingenua de que la oración mentirosa expresa una proposición.

¿Por qué no es suficiente decir que la oración mentirosa no expresa una proposición?

Tal vez ... pero el problema es sobre el predicado "Verdadero (x)". No queremos evitar usarlo, pero no es tan simple encontrar un conjunto consistente de reglas que eviten las paradojas.
Un problema es que esta afirmación parece claramente falsa: la oración mentirosa (modificada) [LS] es significativa de una manera en la que 'weofjwojiajzoijfeowi' no lo es. Podemos entender LS tanto como podemos entender, por ejemplo, 'Esta-y-esta oración no mentirosa no expresa una proposición verdadera'. Entonces, necesitaría decir qué es lo que (parecemos) entender o comprender aquí, si no es una proposición. (Me siento capaz de formarme la creencia de que la LS no expresa una proposición verdadera. A su vez, si la creencia es una relación entre creyente y proposición, ¿con qué proposición me estoy relacionando aquí?)
Un problema estrechamente relacionado proviene del Principio de Composicionalidad. De manera muy aproximada, el PoC dice que si toma palabras significativas y las une de una manera gramaticalmente correcta, obtiene algo significativo nuevamente (y 'significativo' aquí equivale a expresar una proposición). A su vez, todas las palabras en LS son significativas y están gramaticalmente bien formadas. Por lo tanto, afirmar que LS no expresa ninguna proposición lo obligaría a renunciar a la Composicionalidad, lo cual preferimos no hacer.
@MarkOxford Tiene sentido. Supongo que hay una diferencia en cómo los matemáticos y los filósofos ven los resultados contrarios a la intuición (como la falta de sentido de LS o la inconstancia de {x: φ(x)}): el matemático acepta el resultado y trata de cambiar su intuición en consecuencia. El filósofo quiere preservar la intuición tanto como sea posible, posiblemente rechazando el resultado. Sin embargo, tendría que estar en desacuerdo con su argumento basado en creencias: sí, esa proposición existe, pero LS no la expresa. Se expresa mediante otras oraciones, como "LS no expresa una proposición verdadera".
No veo ninguna razón por la que no podamos decir que la oración del mentiroso no tiene sentido. Me parece que no tiene sentido, solo un lío de palabras. Es igualmente sin sentido si decimos 'Esta oración es verdadera'. Podríamos decir 'Esta palabra es difícil de entender' y todos estarían de acuerdo en que esta oración no tiene sentido. .
@PeterJ No sé qué noción de significado (falta de significado) tienes en mente, pero no estoy de acuerdo con que 'Esta palabra es difícil de entender' no tenga sentido. Si dices esa oración sin indicar una palabra en particular, por supuesto que tu emisión particular del demostrativo complejo 'esta palabra' no logrará adquirir un referente . Sin embargo, que un enunciado determinado no haga referencia, no significa que la palabra en sí carezca de sentido. (Strawson observó esto en Sobre la referencia ). Por ejemplo, en una visión kaplaniana, todavía tendrá su carácter.
¿Tu solución es de un filósofo o de un matemático? Parece fallar en ambos aspectos, la "intuición" respalda la composicionalidad del lenguaje en general y el significado de la oración Mentirosa en particular, las matemáticas respaldan buenas propiedades formales como la composicionalidad. Una propuesta un poco mejor es la de Kripke, admitir LS significativo pero declarar que cae en una brecha de valor de verdad, ver IEP 3c. Pero falla en otros aspectos. No puede haber una "solución" a la paradoja del mentiroso, simplemente revela que las intuiciones comunes sobre la verdad y el lenguaje son incoherentes, no hace que lo sean.
Bueno, lamento discrepar, pero encuentro que la oración no tiene sentido. no se que significa 'Esta oración' no tiene un valor de verdad. Esta es mi 'intuición común'..
@PeterJ Por supuesto , 'Esta oración' no tiene un valor de verdad: solo las oraciones lo tienen, mientras que las expresiones sub -orales tienen referentes/denotaciones/'valores semánticos' de algún otro tipo. En (ii), 'esta oración' simplemente denota (ii) en sí misma. Negar esto significaría entrometerse con la semántica de los demostrativos, y eso es metodológicamente imprudente. (Además, podría decirse que una oración puede ser significativa pero no tener valor de verdad: 'Harry Potter es un mago'). Si el demostrativo realmente te molesta, considera esta versión del Mentiroso: "Deja que 'L' sea un nombre para la siguiente oración : 'L es falso'”.
@MarkOxford Entonces, ¿L es falso o verdadero? ¿Y cómo puede incluir la oración 'L' como parte de la oración más larga 'L es falsa' cuando se supone que L debe nombrar la oración completa?
@PeterJ No sé si la oración mentirosa es verdadera o falsa (o ambas o ninguna): esa es la paradoja. Sin embargo , que no sepamos si es verdadero o falso (o lo que sea) no significa automáticamente que la oración no tenga sentido. (Si no tuviera sentido, la pregunta tendría mucho menos sentido). Además, no estoy diciendo que la oración L sea parte de 'L es falso'. El nombre 'L' aparece en 'L es falso'. Además, el nombre también hace referencia a 'L es falso'. Tenga en cuenta que esto generalmente no es problemático: introduzcamos 'E' como un nombre para la oración 'E es una oración en inglés'. Eso parece bien.
@MarkOxford Aprecio la diferencia entre verdadero/falso y sin sentido. Todavía diría que no tiene sentido debido a su circularidad. Cuando escribimos la oración 'L es falsa', en el momento en que escribimos 'L' no tiene referente. Pero también aprecio que las opiniones varíen. Todavía no puedo ver una razón para cambiar la mía.
@PeterJ Me parece que (a) está imponiendo una restricción especial sobre cómo se nos permite usar nombres / demostrativos, y luego (b) afirma que la oración mentirosa [LS] no tiene "sentido" porque viola esa restricción . Puedes hacer eso, pero la gente lo verá como una negación de la Paradoja del Mentiroso, y no como una solución. (Recuerde que se supone que es una paradoja sobre la verdad ). Si está tan decidido a desafiar la propiedad semántica de LS, creo que sería mejor seguir a Tarski y/o a los contextualistas, y decir que LS es defectuoso (o 'sin sentido') porque 'es verdadero' se usa en una forma ilícita.
@MarkOxford - Si estuviéramos en el pub, disfrutaría hablando de esto. Aquí solo puedo decir que para mí la Paradoja del Mentiroso no tiene importancia ni significado. Estoy con el OP en esto y siento que no expresa una proposición. La paradoja del conjunto de todos los conjuntos, por otro lado, parece de vital importancia y un problema metafísico genuino. . . .
@PeterJ: Puede que le interese mi respuesta, según sus comentarios anteriores.
@MarkOxford: Su primer comentario parece un poco fuera de lugar. En realidad, no podemos entender una oración que afirma algo sobre sí misma. Cuando las personas comienzan a analizarlo, primero asumen que tiene sentido y luego lo analizan, y por eso caen en la paradoja. Si no hacemos esa primera suposición, entonces nunca podremos entender la paradoja del mentiroso debido a la definición circular. Sin embargo, como se indicó en mi respuesta, la paradoja de Quine no es circular, y luego la única objeción a su "sentimiento" es que no podemos simplemente asumir el valor de verdad booleano para oraciones que no tratan sobre la realidad.
@Conifold: No estoy de acuerdo con que la intuición respalde el significado de la paradoja del mentiroso. En mi respuesta puse el ejemplo de "Quiero hablar del entero que es uno más que sí mismo". para mostrar por qué no es válido usar oraciones circulares para (implícitamente) definir objetos (en este caso, la oración misma).
@ user21820 Si entendemos una oración no es una cuestión de definición o suposición. Es solo un hecho que entendemos 'La hierba es verde' y 'Esta oración contiene la palabra 'el'. En cuanto a L = 'L no es verdadero', al menos parece que entendemos esa oración: dice acerca de L que no es verdadero. Nuevamente, eso no es una suposición, sino solo nuestra reacción al escuchar la oración. Uno puede intentar resistir esta reacción y decir: aunque L parece significativo, no es porque xyz. Pero la responsabilidad recae en el proponente de este punto de vista, sobre todo porque son contradicción Composicionalidad.
@MarkOxford: Um, mi reacción es que es circular. El hecho de que otras personas no reaccionen de la manera en que yo lo hago no significa que yo tenga la responsabilidad de justificarlo. De hecho, la historia humana ha demostrado adecuadamente que las personas a menudo reaccionan irracionalmente. En cuanto a la composicionalidad, no has mostrado en absoluto una contradicción. Por su propia especificación de composicionalidad, cualquier oración que use "esta oración" no puede tener su significado determinado porque el referente de esa frase no puede tener su significado determinado...
@ user21820 - Como supuso, comparto su punto de vista. Esta frase es una pelota de fútbol.
@PeterJ: Entonces, ¿qué piensas de mi resolución de la paradoja de Quine, que no es circular a diferencia de la paradoja del mentiroso? Si está interesado, podemos continuar la discusión en la sala de chat de Logic .
@user21820 Dejemos que 'S' nombre la primera oración declarativa en la edición de hoy de The Guardian. ¿Entiendes 'S no es verdad'? Si es así, ¿por qué no entiende 'L no es cierto'? Usemos 'M' como segundo nombre para L. (Recuerde, L = 'L no es cierto'). Además, sea N = 'M no es cierto'. N no es autorreferencial. ¿Entiendes N? Si es así, nótese que M = L, de donde N y L expresan la misma proposición. Cuando dices que las oraciones que usan "esta oración" no pueden tener un significado determinado, ¿te refieres a su carácter o su contenido?
@ user21820 Significativo y consistente son dos cosas diferentes, el número entero que es uno más que sí mismo ocurre en la aritmética paraconsistente, por ejemplo. Incluso en las matemáticas clásicas se habla de objetos inconsistentes (como números racionales con cuadrado 2) con el propósito de probar contradicciones. Y no hay desacuerdo con las intuiciones, son lo que son, diferentes para diferentes personas.
@Mark Oxford, las proposiciones no son oraciones. Las proposiciones se expresan mediante oraciones declarativas. Hay una distinción que quizás te estés perdiendo. Las proposiciones no tienen nada que ver con la gramática ya que las proposiciones nunca son cosas físicas como oraciones o símbolos.
@Logikal Sé que las oraciones no son proposiciones. Estoy suponiendo (como es común) que las proposiciones son los significados de la oración. Luego señalé una oración que expresa la misma proposición que L, es decir, una oración que tiene el mismo significado. Hice esto para ayudar a User21820 a entender (el significado de) la oración Mentiroso, que dicen que no. (Por cierto, King 2007 argumenta que las proposiciones tienen la misma sintaxis/gramática que las oraciones que las expresan. Por lo tanto, no estaría de acuerdo con su afirmación de que las proposiciones "no tienen nada que ver con la gramática").
@Mark Oxford, las proposiciones ni siquiera expresan el significado de las oraciones. Las proposiciones expresan un valor de verdad de una oración declarativa. El VALOR de la verdad es lo que expresa una tabla de verdad, no lo que es físicamente cierto en el mundo. La teoría de la correspondencia de la verdad expresa que lo que se dice coincide con el mundo físico y es verificado por nuestros sentidos. Esta oración es falsa se refiere a un valor de verdad y no a una verdad física. La gente está confundiendo los distintos TIPOS de verdad y está cometiendo errores. Las oraciones de paradoja no son proposiciones porque son autorreferenciales y cambian los estados de ánimo de la verdad por un lenguaje ambiguo deliberado.
@Conifold: la lógica paraconsistente está exagerada y no tiene base ni significado para el mundo real. Las matemáticas clásicas no tratan con objetos inconsistentes. Consulte esta interpretación de la prueba como juegos y los comentarios, y luego esta explicación de la prueba por contradicción , que muestran que la lógica clásica se puede interpretar fácilmente de tal manera que uno nunca trata con ningún concepto que no tenga instanciación.
@MarkOxford: No sé cuál es la primera oración declarativa en su copia de Guardian, por lo que no puedo responder a su pregunta. Claramente, si la primera oración de Guardian es "Esta oración no es una oración verdadera", no tendría sentido por las razones que detallé en mi respuesta. Le sugiero que lo lea atentamente y señale exactamente qué es lo que no entiende.
@Logikal: De hecho, para dilucidar la disparidad entre las oraciones declarativas y las proposiciones significativas, di a propósito la paradoja de Quine en mi respuesta. Y la única forma en que uno puede obtener una oración significativa que se asemeje a la paradójica es usar la lógica modal. Por ejemplo, el lema de punto fijo en lógica de demostrabilidad se puede usar para construir un punto fijo G de ( P ↦ ¬⬜P ), y G corresponde a la paradoja del mentiroso. El lema de punto fijo se prueba esencialmente a través del combinador Y. Usar Y para construir G esencialmente construye la paradoja de Quine. Y estar bajo el ⬜ es muy diferente a estar fuera de él.
@ user21820 Desafortunadamente, sus puntos son discutibles. Las cosas se pueden interpretar de una forma u otra, lo que indica que tienen significado, con o sin bombo.
@DetachedLaconian: Conifold simplemente se equivoca al afirmar que "las cosas se pueden interpretar de una forma u otra". Ya he dicho suficiente sobre esto (incluso en el chat ). Existe una clara evidencia de que muchos filósofos no tienen una comprensión correcta de la filosofía de las matemáticas, debido a su falta de comprensión de los fundamentos adecuados de las matemáticas.

Respuestas (4)

[Dado que el OP encontró útiles mis comentarios, decidí expandirlos a una respuesta más completa.]

1. Observación preliminar

En la publicación original, la oración mentirosa (sin modificar) se decía así:

(L) Esta oración es falsa.

Nótese el demostrativo 'esta oración'. A su vez, dado que los lenguajes matemáticos no suelen incluir demostrativos, esta versión de la oración mentirosa no se puede formalizar fácilmente, lo que puede ser una desventaja. La principal alternativa sería usar 'L es falso' como L, generando así la autorreferencia al permitir que L use su propio nombre. Sin embargo, 'L es falso' no es paradójico per se , y sólo es paradójico si se denomina 'L'. Entonces, ¿'L es falso' muestra algo sobre la verdad, o sobre nuestro uso de nombres? Dejemos esa discusión y sigamos con (L) tal como está.

2. La propuesta

La solución defendida en la publicación original es afirmar que L no expresa una proposición. Por lo tanto, la propuesta es aprobar P:

(P) La oración L no expresa una proposición.

Creo que la razón detrás de P es: Ni la afirmación de que L es verdadera, ni la afirmación de que L es falsa, es sostenible. Por lo tanto, debemos evitar ambas afirmaciones. Sin embargo, no queremos decir simplemente que L expresa una proposición que no es ni verdadera ni falsa ; porque, entonces, la paradoja se puede reformular como 'Esta oración no es verdadera'. Entonces, en cambio, diremos que L no expresa una proposición en absoluto. Si no es así, ni siquiera se plantea la cuestión de si es verdadera o falsa, al igual que la cuestión de si la Torre Eiffel es verdadera.

La propuesta enfrenta el siguiente problema: ¿Qué diremos de L+, a continuación? Si extendemos P a esta oración y decimos que L+ tampoco expresa una proposición, entonces parece que L+ es verdadero: después de todo, lo que dice es el caso. Sin embargo, si L+ es verdadera, entonces no expresa una proposición verdadera, en cuyo caso no puede ser verdadera. Finalmente, si L+ es falsa, expresa una proposición verdadera, en cuyo caso vuelve a ser verdadera.

(L+) Esta oración no expresa una proposición verdadera.

En la publicación original, este problema se responde sosteniendo que L+ nunca es cierto. Para motivar esto, tenga en cuenta que, por ejemplo, la Torre Eiffel tampoco es nunca verdadera, simplemente porque la Torre Eiffel no es el tipo de cosas que pueden ser verdaderas (o falsas). Del mismo modo, L+ tampoco es el tipo de cosa que puede ser verdadera o falsa, porque no expresa una proposición. Así, incluso bajo la suposición de que L+ no expresa una proposición, L+ no es verdadera, contrariamente al primer paso del argumento.

3. Objeción

Tal como está la propuesta, no es muy convincente porque (a) hay una proposición que L+ parece expresar, y (b) tenemos una razón para pensar que expresa esta o alguna otra proposición. Comencemos con (a), señalando que OP quiere respaldar P+, lo que implica Q+.

(P+) La oración L+ no expresa una proposición.

(Q+) La oración L+ no expresa una proposición verdadera .

Presumiblemente, OP piensa que Q+ expresa una proposición, a saber. la proposición que L+ no expresa una proposición verdadera . Hablemos de PROP para referirnos a esa proposición. Entonces, ¿qué razón hay para pensar que L+ no expresa también PROP ? A primera vista, L+ es el sujeto tanto de Q+ como de L+, y ambos afirman que su sujeto no expresa una proposición verdadera. Entonces, ¿no están diciendo lo mismo? ¿Ambos no expresan PROP ? Si no, ¿cuál es la diferencia?

Supongamos que señalo L+ y digo: 'OP cree que esta oración no expresa una proposición verdadera '. Eso parece un informe de creencia verdadero, y parece expresar que la relación de creencia se mantiene entre OP y PROP . Sin embargo, para que eso suceda, mi uso de L+ = 'esta oración no expresa una proposición verdadera' de alguna manera destaca a PROP . Si es así, ¿por qué esas palabras no pueden expresar PROP cuando ocurren por sí solas, a saber. como L+? (Aquí, la observación preliminar y la naturaleza de los demostrativos pueden volverse relevantes).

El resultado es que necesitamos que nos cuenten alguna historia sobre por qué L+ no expresa PROP . Un Tarskiano/Contextualista puede tener tal historia; pero no podemos simplemente afirmar que L+ no expresa una proposición y considerar resuelta la paradoja del mentiroso. Además, cualquier historia que contemos, debe decir algo sobre el Principio de Composicionalidad.

(PoC) Para todas las expresiones complejas e , el significado de e está determinado por los significados de los constituyentes de e , junto con la estructura sintáctica de e .

Dado que los constituyentes de L+ son significativos, y dado que L+ es sintácticamente no defectuoso, PoC implica que L+ es significativo. Eso no es lo mismo que expresar una proposición, pero está lo suficientemente cerca como para causar problemas. En particular, si los constituyentes de Q+ se componen para expresar PROP , ¿por qué no lo hacen los constituyentes de L+? Individualmente, todos los constituyentes parecen tener los valores semánticos correctos.

4. La preocupación ad hoc

Como dije, necesitamos una razón para negar que L+ expresa una proposición. La sugerencia del OP fue que la paradoja en sí proporciona tal razón: L+ no podía expresar una proposición; porque si lo hiciera, habría una paradoja. Para respaldar esto, OP señala que Naïve Comprehension [NC] fue rechazada porque condujo a una paradoja (a saber, la de Russell). Y esa fue la única razón para rechazarlo (según OP). Entonces, ¿por qué no es una razón suficientemente buena para rechazar que L+ exprese una proposición?

Creo que una respuesta es que la paradoja de Russell desafía directamente a NC. NC dice: 'Para cada F, hay un conjunto de todas las F', y la paradoja pregunta: '¿Qué pasa con F = no se contiene a sí mismo como elemento?' Dado que NC no puede responder a esta pregunta, parece que NC es directamente responsable de nuestros problemas. (¿Aunque Dummett argumentó lo contrario?) Por el contrario, no hay un principio que genere la paradoja del mentiroso, donde diríamos: '¡Sí, ese es el culpable!' The Liar Paradox tiene una serie de ingredientes, por lo que realmente sería ad hoc elegir uno y descartarlo.

Variantes de la paradoja del mentiroso

Me parece a mí ya muchos otros que podemos resolver la paradoja del mentiroso diciendo que la oración del mentiroso "Esta oración es falsa" no expresa una proposición.

Depende de lo que entiendas por "proposición", pero de hecho con la visión correcta es perfectamente defendible.

Tanto el IEP como el SEP afirman que tal solución a la Paradoja del Mentiroso es derrotada por un Mentiroso Fortalecido:

(i) Esta oración es falsa o no tiene sentido. (PEI)

(ii) Esta oración no expresa una proposición verdadera. (SEP)

Tenga en cuenta que el IEP y el SEP no son necesariamente exactos o precisos, ya que cada artículo suele estar escrito por una sola persona y no es revisado por pares. En este caso, solo son correctos si impone la lógica clásica en las oraciones (i) y (ii).

La falla en el análisis, a mi modo de ver, está en negrita: (ii) ¡no dice nada! Es muy parecido a "¿Cuántos años tienes?" o "weofjwojiajzoijfeowi". Eso es esencialmente lo que significa no expresar una proposición.

Diría que en parte lo entendiste, pero no muy claramente, así que déjame explicarte.

En primer lugar, hay una objeción válida contra la paradoja del mentiroso de que no es una definición válida . Lógicamente, uno no puede referirse a algo que no ha definido. ¡ En este caso, cualquier variante de la paradoja del mentiroso que usa "esta oración" se refiere a algo que aún no se ha definido ! Esto es equivalente a la siguiente tontería:

??? Sea P una oración booleana tal que P es equivalente a ¬P.

Si no está claro por qué esto es ilógico, considere lo siguiente:

??? Quiero hablar del entero que es uno más que sí mismo.

La objeción correcta es que no podemos hablar de algo que no hemos definido, y no podemos hablar de algo que satisface alguna descripción a menos que hayamos demostrado que existe tal cosa para empezar.

Por lo tanto, cualquier oración que contenga "esta oración" es simplemente una cadena de palabras sin significado .

la paradoja de quine

Pero hay otra paradoja que evita por completo cualquier circularidad. Considere la siguiente oración P:

"precedido por la cita de sí mismo no es una oración verdadera". precedido por la cita de sí mismo no es una oración verdadera.

Q es una oración perfectamente gramatical que no se refiere a sí misma, por lo que no se puede invocar la objeción de circularidad a las variantes de la paradoja del mentiroso. Pero Q todavía usa la noción de "verdad", que solo puede estar imbuida de significado mediante la interpretación en el mundo real , y como se explica en la publicación vinculada, ahí es exactamente donde falla.

Para ser más precisos, Q no puede justificarse como una oración sobre la realidad y, por lo tanto, no puede justificarse para que tenga un valor de verdad (booleano). Si Q es una oración verdadera, entonces podemos deducir una contradicción. Si Q no es una oración verdadera, entonces también podemos deducir una contradicción. ¡Pero "Q es una oración verdadera" en sí misma no puede justificarse para tener un valor de verdad! Entonces no podemos deducir una contradicción absoluta.

Además, "Q es una oración sobre la realidad" tampoco puede justificarse para tener un valor de verdad, por lo que no podemos deducir "Q no es una oración sobre la realidad", aunque si lo deseamos podemos 'ir al meta-nivel' y observar que realmente somos incapaces de deducir "Q es una oración sobre la realidad".

Por la razón que sea, no muchos filósofos son conscientes de esta resolución de las paradojas. Pero la "oración sobre la realidad" comparte una sorprendente similitud con la noción de "oraciones fundamentadas" de Kripke, porque cualquier oración sobre la realidad está literalmente fundamentada semánticamente en el mundo real. Por supuesto, Kripke había extendido las oraciones fundamentadas más allá de las oraciones sobre la realidad, pero ese es otro tema.

Comprensión de conjuntos sin restricciones

Ahora permítanme abordar los comentarios secundarios sobre la teoría de conjuntos.

Así como se abandona la noción ingenua de formar conjuntos por comprensión ilimitada porque conduce a la contradicción, también debería abandonarse la noción ingenua de que la oración mentirosa expresa una proposición.

Hay un problema filosófico significativo con el punto de vista común de muchos teóricos de conjuntos. Es decir, se suponía que la noción de "conjunto" capturaba la noción de "colección". Si realmente hay algún universo de teoría de conjuntos que satisface ZFC, entonces ese universo en sí mismo es una colección, y claramente los axiomas de ZFC no capturan eso correctamente. La teoría de conjuntos MK (Morse Kelley) no resuelve eso, porque nuevamente no hay clase de todas las clases.

En cualquier caso, no existe una justificación filosófica no circular para ZFC , por lo que ZFC es de hecho una pista falsa al discutir la paradoja de Russell.

Descartando axiomas al llegar a la contradicción

Finalmente, quiero señalar que no es viable descartar simplemente axiomas que conducen a la contradicción. Para un ejemplo simple, si PA es consistente, entonces PA+¬Con(PA) también es consistente, pero prueba una oración falsa (bajo la interpretación estándar de los números naturales en el mundo real). Esto muestra claramente que la mera consistencia no es suficiente para hacer significativo un sistema lógico o formal, y debemos tener algún tipo de solidez . Como mínimo, deberíamos tener solidez aritmética (al menos a escala humana).

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat . Dirígete al chat para más comentarios.

No hay 'esta oración' para referirse a "Esta oración" en el instante en que se habla, se escucha, se escribe o se lee. Hablar, escuchar, escribir y leer "Esta oración es falsa" toma tiempo, aunque sea solo uno o dos segundos. Entonces, en el instante en que "Esta oración" se dice, escucha, escribe o lee, no hay oración a la que "Esta oración" se refiera. Entonces, si no se ha dicho, escuchado, escrito o leído ninguna oración, entonces no se ha hablado de ninguna oración en el instante en que "Esta oración" se dice, escucha, escribe o lee. Esa es la razón por la que no tiene sentido. Además, creo que Tarski dijo: "Un idioma no se puede usar para hablar de sí mismo". Técnicamente, para hablar de un 'lenguaje objeto', debe usar otro lenguaje llamado "metalenguaje". Entonces "Esta oración es verdadera"

Gödel logró crear una oración que sí habla de sí misma. Un poco complicado, pero lo hizo.

Este es un comentario que es demasiado largo para ser publicado como tal.

La solución de user21820 para el mentiroso (reforzado) me parece razonable: no podemos probar que el mentiroso está castigado; para eso, necesitaríamos mostrar que existe una oración fundamentada L que es equivalente a la oración fundamentada "L no es una oración verdadera". En general, no se puede asumir que las definiciones circulares sean válidas: esto es similar al hecho de que, en matemáticas, las definiciones de funciones recursivas deben ir acompañadas, al menos implícitamente, de teoremas fundamentales.

Algunos filósofos criticarían tal solución diciendo que hay oraciones circulares no problemáticas, como 'Esta oración tiene más de 2 caracteres'. Pero podemos simplemente reescribir tal oración como

"'Esta oración tiene más de 2 caracteres' tiene más de 2 caracteres".

Tenga en cuenta que la cadena interna no necesita estar fundamentada como una oración para que la cadena externa esté fundamentada como una oración, ya que la última simplemente hace una afirmación sobre la sintaxis de la primera . Podemos concluir fácilmente a partir de suposiciones razonables que la oración está fundamentada. Si tratáramos de hacer lo mismo con el mentiroso, la cuerda interior tendría que estar conectada a tierra primero, pero sería precisamente el mentiroso de nuevo. Además, oraciones como "Esta oración es verdadera" no estarían demostrablemente fundamentadas, lo cual está bien, ya que de todos modos no parecen ser de mucha utilidad.

Hay oraciones circulares que son útiles en la práctica y que, sin embargo, no parecen fundamentarse . Tenga en cuenta que dije "Este es un comentario que es demasiado largo para publicarse como tal" arriba. No está claro cómo se puede demostrar que tal declaración está fundamentada.

Podríamos reformularlo como "Lo que sigue es un comentario que es demasiado largo para publicarlo como tal", pero eso cambiaría ligeramente el significado. Además, surgirían problemas porque también estoy mencionando la declaración aquí, haciendo que todo sea circular nuevamente.

¿Pensamientos sobre este último punto?

Sí, me entendiste bien. Para decir que una oración circular tiene sentido, tendríamos que justificar de alguna manera que es equivalente a alguna oración fundamentada. Y estoy de acuerdo con tu ejemplo, donde "Esta oración tiene más de 2 caracteres". es simplemente una cadena que concretamente tiene más de 2 caracteres, y por esa deducción podemos elegir (si lo deseamos) imbuir esa cadena con significado. Por eso debemos distinguir entre sintaxis y semántica. En cuanto a su último punto, ¿no es lo mismo que su ejemplo? "Esto" se refiere a su publicación como una cadena, no a su interpretación.
@ user21820 Hmm, tienes razón. La noción de comentario es de hecho sintáctica, no semántica. Y simplemente estaba haciendo una afirmación sobre su longitud. Sin embargo, me pregunto si hay ejemplos de oraciones infundables pero útiles "en la naturaleza".
¿Por qué no podemos simplemente decir que la oración mentirosa no expresa una proposición?
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