Patrick Grim afirma en "Problemas con la omnisciencia" que existe una "verdad simple bien establecida como un teorema lógico", lo que demuestra que la omnisciencia es un concepto contradictorio. No estoy viendo la contradicción. ¿Cuál es la "simple verdad" y dónde está la contradicción?
Aquí está el extracto relevante (p.3):
" Para cualquier sistema de este tipo, es bien sabido que podremos codificar fórmulas de manera recuperable como números. Usaremos A̅ para referirnos a la codificación numerada para una fórmula A. Es bien sabido que para cualquier sistema de este tipo, podremos defina una relación de derivabilidad I tal que ⊢I(A̅, B̅) en el caso de que B sea derivable de A. Introduzcamos un símbolo '∇' dentro de dicho sistema, aplicable a las codificaciones numéricas Ȧ para las fórmulas A. Podríamos introducir '∇ "como una forma de representar el conocimiento universal, por ejemplo, el conocimiento de un ser omnisciente dentro de al menos el ámbito de este sistema formal limitado. Dado cualquier símbolo de este tipo con cualquier uso de este tipo, claramente querríamos mantener cada uno de los siguientes :
Si algo es conocido por tal ser, es así:∇(A̅)→ A.
Este hecho es conocido por tal ser:∇(∇(A) → A).
Si B es derivable de A en el sistema, y A es conocido por tal ser, B también es conocido por tal ser: I(A̅, B̅) →(∇ (A̅) → ∇ (B̅)).
La simple verdad, sin embargo, bien establecida como teorema lógico, es que ningún símbolo puede significar consistentemente lo que hemos propuesto que signifique '∇', incluso en un contexto tan limitado como es la aritmética formal" .
ACTUALIZACIÓN: Encontré la respuesta a la pregunta , pero es un poco demasiado compleja para mí, y solo está parcialmente disponible a través de la vista previa, entonces, ¿qué significa este enlace? ¿Responde realmente a la pregunta?
No me sorprende la confusión porque el teorema en cuestión no es ni simple ni del todo lógico. Es el teorema de la indefinibilidad de la verdad de Tarski , que dice aproximadamente que uno no puede definir un "predicado de verdad" fiel, que detecta infaliblemente cuando una oración es verdadera. Más precisamente, no existe una fórmula T() en la aritmética de primer orden tal que T(A̅) sea verdadera si y solo si A es verdadera. El predicado ∇ de "conocimiento de un ser omnisciente" de Grim es esencialmente el predicado de verdad de Tarski.
La indefinibilidad de la verdad no es simple porque es equivalente al teorema de incompletitud de Gödel, y aunque ambos pueden explicarse a un peatón, sus significados reales, sin mencionar las pruebas, son bastante sutiles y técnicos. No es del todo lógico, porque tanto el enunciado como la demostración requieren el uso de algunos conceptos y métodos aritméticos, ciertamente básicos, pero más allá de lo que tradicionalmente se entiende por lógica (entrarían en la Lógica de Frege).
Tengo que decir que el argumento de Grim me parece muy poco convincente. Tanto los teoremas de Tarski como los de Gödel se aplican a las teorías de primer orden con la aritmética, ya no son ciertos en la lógica de segundo orden. Pero incluso sin eso, los predicados son muletas finitas que seres como nosotros usamos para manejar el infinito, un ser omnisciente no necesita tales herramientas. Puede conocer cada instancia verdadera por separado, todas infinitamente muchas de ellas, sin necesidad de un predicado definible. Dicho conocimiento de las instancias no necesita ser "definible" (es decir, algorítmico) de ninguna manera, y mucho menos en la lógica de primer orden. En otras palabras, no produce ningún predicado de verdad ni contradicción con la indefinibilidad de primer orden de la verdad.
Existe una interesante "paradoja de la cognoscibilidad" que muestra la existencia de verdades incognoscibles si las hay. Pero precisamente para un ser omnisciente su razonamiento falla, ya que ninguna verdad le es desconocida. No estoy al tanto de buenos argumentos de que la omnisciencia en sí misma es contradictoria. La omnipotencia es otra cosa, un ser puede o no crear una piedra que no puede levantar. De cualquier manera, no es omnipotente sin calificaciones.
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