La paradoja de Russell y la ley de no contradicción

No estoy seguro de la pregunta ... pero podemos probar "solo por lógica" que:

¬(∃y)[(∀x)(A(x,y) ↔ ¬A(x,x))] .

Prueba:

1) (∃y)[(∀x)(A(x,y) ↔ ¬A(x,x))] --- asumido

2) (∀x)(A(x,c) ↔ ¬A(x,x)) --- donde c es una nueva constante

3) A(c,c) ↔ ¬A(c,c) --- por instanciación universal.

La fórmula A(c, c) ↔ ¬A(c, c) es, o implica, una contradicción, ya que obviamente A(c, c) ↔ A(c, c) , y así concluimos con la negación del supuesto .

Por lo tanto, si su pregunta es sobre un "patrón" común a la paradoja de Barber y a la antinomia de Russell, la respuesta es SÍ. Véase el argumento diagonal de Cantor .

El "patrón" común muestra que cierto supuesto existencial es insostenible, por el hecho de que conduce a una contradicción.

Así, para la versión de Barber, la conclusión es: la persona B no existe.

De la misma forma, para la versión del conjunto: el conjunto R no existe.

Pero tenga en cuenta que las dos conclusiones anteriores no son "paradójicas" en absoluto; son perfectos ejemplos sólidos de pruebas por contradicción. Desmienten una conjetura inicial: la existencia del barbero B (del conjunto R ) de lo que se deriva una contradicción.

¿Dónde está la diferencia? En el papel del Axioma de Comprensión , y es uno grande.

En el caso de Barber, nos quedamos satisfechos con la prueba de que el supuesto barbero no existe: esta conclusión per se no tiene impacto matemático o filosófico.

Respecto a la teoría de conjuntos original, en cambio, el impacto es relevante.

La versión sin restricciones del Axioma de comprensión era muy natural y no controvertida: para cada propiedad P hay una colección de cosas que tienen esa propiedad: { x ∣ P(x) } .

El uso del axioma en la definición del conjunto R de Russell muestra que el principio natural e incontrovertible no es sostenible: fin de la historia.

Hoy, la paradoja de Russell es simplemente la prueba en ZFC de que la clase R = {x ∣ x ∉ x}no es un conjunto. Uno evita la paradoja porque no se puede escribir significativamente f(R,R).

Pero en la época de Russell, la gente usaba el axioma de la comprensión sin restricciones y, junto con la metodología de la época, esto implica que Rrealmente es un conjunto y, por lo tanto, f(R,R)tiene sentido. Pero dado que incluso el hecho de poder escribir f(R,R)conduce a una contradicción, esto implica que hay algo gravemente erróneo en la teoría de conjuntos de la época.

Tal vez valga la pena señalar que la paradoja de Russell también tiene un análogo directo en la lógica formal ingenua. Si los predicados pueden tomar predicados arbitrarios como argumentos, entonces si Xes un predicado unario, tiene sentido alimentarlo a sí mismo. Podemos definir un predicado Ppor

P(X) := ¬X(X)

y luego derivar una contradicción al contemplar P(P).

Así como la teoría de conjuntos cambió a la comprensión restringida adoptada, la lógica formal también tuvo que adaptarse, de modo que ya no implica que se puede definir tal P.

Por ejemplo, el enfoque típico es estratificar la lógica en lógica de primer orden que puede razonar sobre objetos, lógica de segundo orden que puede razonar sobre predicados de primer orden, y así sucesivamente. De esta forma, nunca tiene sentido escribir X(X), ya que el argumento de cualquier predicado unario Xdebe tener un orden menor que Xél mismo.

"Básicamente, no parece que la paradoja de Russell comience con algo válido y lógicamente concluya con algo inválido, sino que parece que comienza con algo lógicamente inválido en primer lugar, es decir, la violación de los conceptos básicos de la lógica".

No es sólo que "parece", sino que, de hecho, la paradoja de Russell comienza con algo lógicamente inválido en primer lugar, a saber, un universo lógicamente inconsistente, como se ve después de (3). Una forma alternativa de percibirlo es notar que la paradoja de Russell es claramente incompatible con los axiomas de un universo lógicamente autoconsistente.

Un universo de un peluquero ordenado y respetuoso lógicamente autoconsistente se basa en estos dos axiomas:

• El barbero se corta el pelo él mismo.

  1. Para x = B, f(B,x).

• El peluquero corta el cabello de cualquier otra persona si esa persona no se corta el cabello él mismo.

  2. Para todo x ¬= B, f(B,x) XOR f(x,x).

Dado que cualquier variable booleana se puede expresar como AND u OR consigo misma, y ​​como en el axioma 1 f(B,x) = f(x,x), se puede expresar como:

1.a. Para x = B, f(B,x) Y f(x,x).

1.b. Para x = B, f(B,x) O f(x,x).

De los axiomas 1.a y 2, o 1.b y 2, está claro que no se puede establecer ninguna proposición válida para todo x en un universo lógicamente autoconsistente de un peluquero ordenado y respetuoso. Entonces, la paradoja de Russell no puede suceder.

En el ejemplo de "Bess ama a alguien solo si no se ama a sí misma", un universo de Bess que se ama a sí misma y no se ama a sí misma lógicamente coherente se basa en estos dos axiomas:

• Bess se ama a sí misma.

• Bess ama a cualquier otra persona si esa persona no se ama a sí misma.

Usted formula mejor su problema en los comentarios:

¿Por qué no decir simplemente que no se permite nada que viole la lógica básica?

De hecho, existe una regla que dice que si un conjunto de declaraciones genera una contradicción, la conjunción de esas declaraciones es falsa. No permitimos nada que viole la lógica básica.

Entonces, ¿cómo podemos tener la paradoja de Russell? El problema es que no tenemos noción de la prioridad de las reglas dentro de un lenguaje formal particular . Entonces, mientras nuestro principio de no contradicción nos dice que

NC: P_1, ..., P_n |- _|_ => ~(P_1 & ... & P_n)

también tenemos (en teoría de conjuntos ingenua)

A_1, ..., A_n

tal que

A_1, ..., A_n |- _|_

lo cual es claramente malo, así como

NC, A_1, ... A_n |- _|_

que es aún peor.

Desafortunadamente, la verdad se define dentro de un lenguaje particular. Por lo tanto, no podemos decir dentro del lenguaje mismo quién está equivocado: NCo cualquiera de A_1to A_n.

En lugar de descartar teoremas particulares porque son paradójicos, descartamos conjuntos de reglas que generan esos teoremas. El nuevo conjunto de reglas en el caso de la teoría de conjuntos tenía el axioma de comprensión restringida que evita el problema.