Sobre una condición para que una inmersión sea un empotramiento

Desde$X$(como una variedad) es localmente compacto, hay dos cosas que debe verificar para probar que una inmersión$f: X\to Y$es una incrustación:

1. $f$es inyectable.

2. Si$x_i\in X$es una sucesión que diverge hasta el infinito (en la compactación de 1 punto de$X$) entonces$f(x_i)$no puede converger a algunos$y=f(x)$,$x\in X$.

Verificaré la Parte 1 y le dejaré revisar la Parte 2. Como en su pregunta, asumo que cada$y=f(x)\in f(X)$tiene una base de barrios$\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$tal que$f^{-1}(U_\alpha)$está conectado para cada$\alpha\in A$.

Suponer que$f$no es 1-1: existen puntos distintos$x_1, x_2\in X$con$f(x_1)=f(x_2)=y$. Elija un subconjunto compacto$K\subset X$cuyo interior contiene$x_1, x_2$. Desde$f$es una inmersión, es localmente inyectivo. De este modo,$f^{-1}(y)\cap K$es finito, igual$\{x_1, x_2,...,x_k\}$.

Desde$X$es Hausdorff, existen barrios disjuntos por pares$V_1,...,V_k$de$x_1,...,x_k$y$U_\alpha$tal que

Así que creo que finalmente lo descubrí. Gracias por la ayuda, tratar de probar la inyectividad primero me ayudó a comprender el problema. Aquí está: (la bola sin cierre es la bola abierta)

Dejar$M$y$N$, ser dos variedades$C^p$de dimensiones respectivamente$n$y$k$, y deja$f$, ser una inmersión de clase$C^p$de$N$a$M$. ($p \geq 1$ $n \geq k \geq 1$).

Supongamos que para cada punto de la imagen de$f$, existe una base de vecindades de este punto en$M$ $(V_q)_{q \in \mathbb{N} }$tal que$\forall q \in \mathbb{N}$ $f^{-1}(V_q)$está conectado y$V_q$abierto.

Lema: Deja$x \in N$y$(x_r)_{r \in \mathbb{N} } \in N^{ \mathbb{N} }$tal que$f(x_r)$tiene$f(x)$como limite en$M$. Entonces tenemos eso$x_r$tiene$x$como limite en$N$.

Demostración: Lo mostraremos por contradicción: Sea$(x_r)_{r \in \mathbb{N}}$ser secuencia de puntos en$N$tal que el límite de$(f(x_r))_{r \in \mathbb{N}}$es$f(x)$en$M$y que existe$U$, un conjunto abierto de$M$tal que$x \in U$y eso$\forall r \in \mathbb{N}$ $x_r \notin U$(Podemos suponer que simplemente tomando una secuencia que no verifica la consecuencia del lema y luego simplemente manteniendo una infinidad de términos que no convergen en$x$, por lo que por extracción obtendremos una secuencia de términos evitando un subconjunto abierto que contenga$x$pero tal que el límite de sus imágenes por$f$es$f(x)$).

Dejar$(V_q)_{q \in \mathbb{N}}$ser la base de la vecindad de$f(x)$que la suposición de$f$Nos da.

Nosotros notamos$\phi :W_1 \longrightarrow B(0,1)$(con$W_1 \subset U$) y$\psi: W_2 \longrightarrow B(0,1)$ser gráficos tales que$\phi (x)=0$y$\psi (f(x))=0$.

$\psi \circ f \circ \phi ^{-1}$es una inmersión. Dejar$p$ser una proyección lineal de$\mathbb{R}^n$sobre la imagen del diferencial de esta inmersión en el punto$0$. De este modo$p \circ \psi \circ f \circ \phi ^{-1}$es$C^p$y su diferencial en$0$es un isomorfismo$0$Delaware$\mathbb{R}^k$sur$F$. Por el teorema de la función inversa,$\exists \epsilon \in ]0;1[$y$X \subset B(0,1)$en$\mathbb{R}^k$tal que:$p \circ \psi \circ f \circ \phi ^{-1}$es un$C^p$difeomorfismo de$X$en$B(0, \epsilon)$(la pelota en$F$). Nosotros notamos$\theta$, su restricción de$X$a$B(0, \epsilon)$.

Dejar$q\in \mathbb{N}$ser tal que$V_q \subset \psi ^{-1} (p^{-1}(B(0, \dfrac{ \epsilon}{2})))$.$f^{-1}(V_q)$al ser un subconjunto conectado abierto no vacío de una variedad, está conectado por caminos. También, existe$r_0 \in \mathbb{N}$tal que:$\forall r >r_0$ $f(x_r) \in V_q$. De ello deducimos que existe$\gamma$un camino desde$x$a$x_r$en$f^{-1}(V_q)$para$r$siendo lo suficientemente grande.

De este modo,$\gamma$tiene sus imágenes fuera de$U$para$t$lo suficientemente grande porque$x_r \notin U$. Nosotros notamos$I$, el intervalo en$[0;1]$que contiene$0$tal que$\gamma (s)$es en$X$para$s \in I$(que es el componente conexo de$\gamma^{-1}(U)$que contiene$0$).

Dejar$\phi ^{-1}( \theta ^{-1}(B(0,\epsilon /2)))=A$.

Nosotros notamos$t$, el mínimo de$\gamma^{-1}(A^c)$(existe porque$1$está en él, y$A$es un subconjunto abierto de$X$así de$N$, de este modo$\gamma^{-1}(A^c)$está cerrado y no vacío en$[0;1]$).$t \in I$porque$A \subset \phi ^{-1}( \theta ^{-1}( \overline{(B(0, \epsilon /2)})))$que es compacto porque$\phi^{-1}$y$\theta^{-1}$son continuos y$N$siendo Hausdorff, es un subconjunto cerrado de$N$de este modo$\gamma(t)$está ahí por la minimalidad de$t$, y$\gamma (t) \in X$, y$[0;t[ \subset I$. De este modo$[0;t] \subset I$.

$t$estar en$I$, por continuidad$\theta ( \phi ( \gamma (t))) \in \partial B(0, \epsilon /2)$porque$\phi ^{-1}( \theta ^{-1} ( \overline{((B(0,\epsilon /2))})))$es un subconjunto cercano de$N$y no está en la imagen inversa de la bola abierta.

De este modo:$p \circ \psi \circ f( \gamma (t))$es en$B(0, \epsilon /2)$y en su complemento. Es una contradicción.

Proposición:$f$es inyectable y$g=f^{ |Im(f)}$es un homeomorfismo.

Demostración: Para mostrar que es una biyección, elegimos la sucesión$x_r=x'$con$f(x)=f(x')$. Tenemos, de él y del lema, que$x_r$tiende a$x$. De este modo$x'=x$. la continuidad de$g^{-1}$puede deducirse del lema.

Espero que no haya un error en lo que escribí...