Inmersión, incrustación y teoría de categorías

Question

Inmersión, incrustación y teoría de categorías

Matemáticas
geometría diferencial
topología diferencial

truebaran

El mapa entre variedades suaves $f:M \to N$ se llama inmersión si el mapa tangente $Tf$ es inyectiva para cada $x \in M$ . Hay una noción correspondiente de sumersión. Acerca de las incrustaciones encontré dos definiciones: la primera establece que un mapa $f:M \to N$ se llama incrustación si es una inmersión y es uno a uno: la segunda definición requiere que el mapa sea la incrustación en el sentido topológico.
1. ¿Son estas definiciones equivalentes? Si no, entonces:
2. ¿Qué definición es correcta?
3. Si la primera definición no implica la segunda, ¿por qué se llama incrustación mientras que no sería una incrustación en el sentido topológico? Sin embargo, si estas definiciones son equivalentes, ¿por qué suponemos que el mapa está en una inmersión?
(Me pregunto si hay alguna forma inteligente de declarar qué mapas $f:M \to N$ son flechas en alguna categoría de tal manera que el monomorfismo en esta categoría será exactamente inmersión y epimorfismo-inmersión).

set

No son equivalentes. El segundo es correcto. Consulte las variedades suaves de Lee en la página 156 para ver la definición y en la página 157 el ejemplo 7.3 para ver un ejemplo de una inmersión inyectiva que no es una incrustación.

set

Un ejemplo más fácil por cierto está en la página de wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Immersion_(mathematics)

set

La definición correcta es una inmersión que es una incrustación topológica. Supongo que eso es lo que quiso decir con la segunda definición, pero no está completamente claro.

Jack Lee

@PVAL: una inmersión inyectiva adecuada siempre es una incrustación, pero no a la inversa. Por ejemplo, la inclusión de un subconjunto abierto en

M

$M$ es una incrustación suave, pero generalmente no adecuada.

truebaran

¿Propio significa que la imagen inversa de cada conjunto compacto también es compacta?

Jack Lee

Sí, eso es correcto.

amitai yuval

@truebaran Agregué algo a mi respuesta (de hace unos meses). Puede que le resulte interesante.

Respuestas (2)

Inmersión, incrustación y teoría de categorías

No son equivalentes. El segundo es correcto. Consulte las variedades suaves de Lee en la página 156 para ver la definición y en la página 157 el ejemplo 7.3 para ver un ejemplo de una inmersión inyectiva que no es una incrustación.
Un ejemplo más fácil por cierto está en la página de wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Immersion_(mathematics)
La definición correcta es una inmersión que es una incrustación topológica. Supongo que eso es lo que quiso decir con la segunda definición, pero no está completamente claro.
@PVAL: una inmersión inyectiva adecuada siempre es una incrustación, pero no a la inversa. Por ejemplo, la inclusión de un subconjunto abierto en $M$ es una incrustación suave, pero generalmente no adecuada.
¿Propio significa que la imagen inversa de cada conjunto compacto también es compacta?
@truebaran Agregué algo a mi respuesta (de hace unos meses). Puede que le resulte interesante.

amitai yuval · Answer 1

La definición es una combinación de las dos opciones que das. Un mapa suave $f:M\to N$ es una incrustación si es una inmersión, y una incrustación en el sentido topológico.

Si omitimos el requisito de que $f$ es una inmersión, obtenemos por ejemplo que

F : R \to R^{2}, X \mapsto (X^{2}, X^{3})

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,\quad x\mapsto(x^2,x^3)$ es una incrustación. En otras palabras, la imagen de

f

$f$ , que llamamos

c

$c$ , es una subvariedad de

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ . Esto es "malo" porque el espacio tangente en el punto

(0, 0)

$(0,0)$ no se comporta como queremos. La curva

c

$c$ es un

1

$1$ subvariedad dimensional, y para

p \in c

$p\in c$ esperamos

T_{p} c

$T_pc$ ser un

1

$1$ subespacio dimensional de

T_{p} R^{2}

$T_p\mathbb{R}^2$ . Sin embargo, si

γ : (- ϵ, ϵ) \to c

$\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to c$ es suave como un mapa en

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ y satisface

γ (0) = (0, 0)

$\gamma(0)=(0,0)$ , entonces necesariamente

\dot{γ} (0) = 0

$\dot{\gamma}(0)=0$ .

Editar, escrito un poco después de la respuesta original: hay otra muy buena razón para exigir que una incrustación siempre sea una inmersión. Tales incrustaciones tienen la siguiente propiedad agradable:

Dejar $i:M\hookrightarrow N$ ser una incrustación de variedades suaves, y dejar $f:L\to N$ sea un mapa uniforme, tal que $\mathrm{Im}(f)\subset\mathrm{Im}(i)$ . Entonces la función inducida (en categoría de conjuntos) $\tilde{f}:L\to M$ es un mapa uniforme de variedades.

Si omitimos el requisito de que $i$ es una inmersión, la propiedad anterior no se cumple necesariamente. Tenga en cuenta que en la categoría de espacios topológicos y funciones continuas, la topología de un subespacio se define de la manera que hace que se cumpla la propiedad correspondiente. Cuando jugamos con variedades suaves, necesitamos una suposición adicional que haga que las incrustaciones se comporten bien.

Señor Benjamín Dover · Answer 2

Ellos no son. Sin embargo, es claro que la segunda siempre implica la primera.
El segundo es más adecuado, si piensas en sus implicaciones topológicas.
Lo primero implica lo segundo si el mapa es además un mapa propio. No creo que mucha gente llame incrustación a una inmersión inyectada. (Sin embargo, es una incrustación local ).

Gracias, aparentemente la primera definición que encontré tenía una suposición oculta: el contexto de variedades cerradas en las que esto equivale a la segunda.

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Jack Lee

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