Una variedad admite una forma superior que no desaparece si tiene un atlas orientado. ¿Necesitamos conectividad aquí?

Hay un paso preliminar a la demostración: podemos suponer que la variedad está conectada.

En otras palabras:

El teorema de las variedades conexas implica el teorema de las variedades arbitrarias.

Para probar esta implicación, supongamos que ya sabemos que el teorema es verdadero para todas las variedades conexas, y sea$M$Sea cualquier variedad orientada. Escriba su descomposición en componentes como$M = \sqcup_i M_i$. Aplicar el teorema a cada componente.$M_i$para obtener una forma superior que no desaparece$\omega_i$. Obtenemos una forma superior que no desaparece.$\omega$en$M$, cuya restricción a$M_i$es$\omega_i$, lo que prueba el teorema para variedades arbitrarias.

La representación local$\omega=fdx^1\wedge...\wedge dx^n$no permite concluir que tampoco$f > 0$o$f < 0$. Esto es válido sólo si$U$ está conectado (pero no tiene nada que ver con la conexión de$M$). Por lo tanto, es necesario considerar sólo cartas con un conectado$U$.