¿Condición para subvariedad sumergida pero no incrustada?

Lo que escribes es cierto, solo que debes ser un poco más cuidadoso con las definiciones y los argumentos. El mapeo de inclusión no siempre tiene que ser una inmersión fluida y la declaración de que "la derivada de la inclusión es la transformación de identidad" y esto no tiene sentido en general. Permítanme dar una definición y luego proporcionar algunos ejemplos:

Dejar$(M,\tau_M, \mathcal{A}_M)$ser una variedad suave. Una subvariedad sumergida de$M$es un triple$(X,\tau_X, \mathcal{A}_X)$dónde:

1. El conjunto$X$es un subconjunto de$M$.
2. El conjunto$\tau_X$es una topología sobre$X$haciendo$(X,\tau_X)$una variedad topológica.
3. El conjunto$\mathcal{A}_X$es una colección de gráficos en$(X,\tau_X)$que define una estructura suave sobre$X$.

tal que el mapa de inclusión$i \colon (X,\tau_x,\mathcal{A}_X) \rightarrow (M,\tau_M,\mathcal{A}_M)$es una inmersión suave (y en particular es continua).

Considere los siguientes ejemplos "artificiales":

1. Dejar$M = \mathbb{R}$con la topología estándar y estructura suave. Elige algún subconjunto$X \subseteq M$para el cual existe una biyección$\varphi \colon X \rightarrow \mathbb{R}^2$(¡activos!). Usa el mapa$\varphi$dotar$X$con una topología$\tau_X$y una estructura suave$\mathcal{A}_X$que gira$\varphi$en un difeomorfismo. Entonces$(X,\tau_X, \mathcal{A}_X)$satisface las primeras tres propiedades anteriores, pero el mapa de inclusión no es continuo y, en particular, no puede ser una inmersión suave.
2. Dejar$M = \mathbb{R}^2$con la topología estándar y la estructura suave y dejar$X = \{ (x, |x|) \, | \, |x| < 1 \}$. Dejar$\tau_X$Sea la topología del subespacio en$X$y considera el mapa$\varphi \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$dada por $$\varphi(x) = \begin{cases} \left( -e^{-\frac{1}{x^2}}, e^{-\frac{1}{x^2}} \right) & -\infty < x < 0, \\ (0,0) & x = 0, \\ \left( e^{-\frac{1}{x^2}}, e^{-\frac{1}{x^2}} \right). & 0 < x < \infty \end{cases}$$ Puedes verificar que$\varphi$es un mapa suave con$\varphi(\mathbb{R}) = X$y eso$\varphi$es un homeomorfismo sobre$(X,\tau_X)$. Usa el mapa$\varphi$dotar$(X,\tau_X)$con una estructura suave$\mathcal{A}_X$que gira$\varphi$en un difeomorfismo. Entonces$(X,\tau_X,\mathcal{A}_X)$satisface las primeras tres propiedades y la inclusión es un homeomorfismo suave en la imagen pero no es una inmersión en$(0,0)$. De hecho, Lee muestra que el conjunto$X$no puede ser dotado de una topología$\tau_X$y estructura suave$\mathcal{A}_X$haciendo$(X,\tau_X,\mathcal{A}_X)$en una subvariedad sumergida.