Tu ejemplo me hace pensar en gráficos.

Imagínese que aparece un tipo amable y servicial, e hizo un gran gráfico de todos los conceptos matemáticos, donde cada concepto es un nodo y los conceptos relacionados están conectados por bordes. Ahora puede tomar una copia de este gráfico y colorear cada nodo de verde en función de si "conoce" ese concepto (las incógnitas pueden ser grises).

¿Cómo definir "saber"? En este caso, cuando alguien menciona ese concepto mientras habla de algo, ¿se siente inmediatamente confundido y siente la necesidad de buscar el concepto? Si no, entonces lo sabes (curiosamente, puedes estar engañándote a ti mismo pensando que sabes algo que no entiendes por completo, y se clasificaría como "saber" según esta regla, pero está bien y te explicaré por qué en un poco). Con el fin de determinar si lo "sabe", intente suponer que el tema en particular del que habla la persona no es un argumento intrincado que depende de detalles oscuros del concepto o interpretaciones extrañas; simplemente se menciona con naturalidad, como comentario tangencial.

Cuando estás estudiando un tema, básicamente eliges un nodo gris y tratas de colorearlo de verde. Pero puede descubrir que para hacer esto, primero debe colorear algunos nodos grises adyacentes. Entonces, en el momento en que descubre un nodo de requisito previo, lo colorea de inmediato y pone su tema original en espera. Pero este nodo también tiene requisitos previos, por lo que lo pone en espera y... Lo que está haciendo se conoce como una búsqueda en profundidad. Es natural que se sienta como una madriguera de conejo: estás tratando de profundizar lo más posible. La esperanza es que tarde o temprano te topes con una pared de greens, que es cuando tu larga y ardua búsqueda habrá dado sus frutos, y sentirás esa emoción única de volver a subir en la pila con tu pequeña joya de la recursividad. valor de retorno final.

Luego vuelve a colorear su nodo original y descubre el otro requisito previo, por lo que ahora puede hacerlo todo de nuevo.

DFS es adecuado para algunas aplicaciones, pero es malo para otras. Si su objetivo es colorear todo el gráfico (es decir, aprender todas las matemáticas), cualquier estrategia hará que visite la misma cantidad de nodos, por lo que no importa tanto. Pero si no está tratando seriamente de aprender todo en este momento, DFS no es la mejor opción.

Entonces, la solución a su problema es sencilla: ¡utilice un algoritmo de búsqueda más apropiado!

Inmediatamente obvio es la búsqueda primero en amplitud. Esto significa que, cuando lea un artículo (o una página o un capítulo de un libro), no se apresure a buscar cada término nuevo tan pronto como lo vea. Encierra en un círculo o anótalo en un papel aparte, pero oblígate a terminar el texto aunque sea completamente incomprensible para ti sin conocer el nuevo término. Ahora tendrá una lista de nodos de requisitos previos y podrá tratarlos de una manera más organizada.

En comparación con su DFS, esto ya hace que sea mucho más fácil evitar alejarse demasiado de su área de interés original. También tiene otro beneficio que no es común en problemas gráficos reales: a menudo en matemáticas, y en general, la comprensión es cooperativa. Si tiene un concepto A que tiene como requisito previo los conceptos B y C, puede encontrar que B es muy difícil de entender (lo lleva a una profunda madriguera de conejo), pero solo si aún no conoce el tema muy fácil C, que si lo hace, haga que B sea muy fácil de "obtener" porque rápidamente descubre los puntos más destacados y relevantes (o puede resultar que saber B o C sea suficiente para aprender A). En este caso, ¡realmente no querrás tener una estrategia de aprendizaje que no te garantice hacer C antes que B!

BFS no solo le permite explotar las cooperativas, sino que también le permite administrar mejor su tiempo. Después de su primer paso, digamos que terminó con una lista de 30 temas que necesita aprender primero. No todos serán igual de duros. Tal vez 10 te lleve 5 minutos hojeando wikipedia para darte cuenta. Tal vez otros 10 sean tan simples, que el primer diagrama de Google Image lo explique todo. Luego habrá 1 o 2 que llevarán días o incluso meses de trabajo. No querrás tropezarte con los grandes mientras tienes que cuidar a los pequeños. Después de todo, puede resultar que el gran tema no sea esencial, pero el pequeño sí lo es. Si ese es el caso, ¡te sentirías muy tonto si trataras de abordar el tema principal primero! Pero si el pequeño resulta inútil, en realidad no ha perdido mucha energía o tiempo.

Una vez que esté haciendo BFS, también podría beneficiarse de los otros giros muy agradables e inteligentes, como Dijkstra o A *. Cuando tenga la lista de temas, ¿puede ordenarlos por cuán prometedores parecen? Lo más probable es que puedas, y lo más probable es que tu intuición sea correcta. Otra cosa que debe hacer: dado que, en última instancia, su objetivo es vincularse con algunos nodos verdes, ¿por qué no intentar priorizar temas que parecen estar acercándose a cosas que sí conoce? La belleza de A* es que estas heurísticas ni siquiera tienen que ser muy correctas; incluso las heurísticas "incorrectas" o "poco realistas" pueden terminar haciendo que su búsqueda sea más rápida.

No aprendes qué es un espacio vectorial tragándote una definición que dice

Un espacio vectorial$\langle V, S\rangle$es un conjunto$V$y un campo$S$que satisfagan los siguientes 8 axiomas: …

O al menos yo no, y por el sonido de las cosas, eso tampoco funciona para ti. Esa definición es para alguien que no solo ya sabe qué es un campo, sino que también sabe qué es un espacio vectorial, y para quien la declaración formal puede iluminar lo que ya sabe.

En cambio, si desea aprender qué es un espacio vectorial, tome un libro de texto elemental sobre álgebra lineal y comience a leerlo. Recogí Álgebra lineal y sus aplicaciones (G. Strang, 1988) de al lado de la cama hace un momento, y descubrí que el "espacio vectorial" ni siquiera está definido. La primera página del capítulo 2 ("Espacios vectoriales y ecuaciones lineales") presenta la idea de manera informal, apoyándose en gran medida en el ejemplo de$\Bbb R^n$, que ya se presentó en el Capítulo 1, y luego enfatiza la propiedad crucial: "Podemos sumar dos vectores cualesquiera y podemos multiplicar vectores por escalares". La siguiente página reitera esta idea: “un espacio vectorial real es un conjunto de 'vectores' junto con reglas para la suma y multiplicación de vectores por números reales”. Luego siguen tres ejemplos que son diferentes de los$\Bbb R^n$ejemplos

Un buen libro de texto hará esto: reducirá esos 8 axiomas a una breve declaración de lo que realmente tratan los axiomas y proporcionará un conjunto de ejemplos esclarecedores. En el caso del espacio vectorial, la breve declaración que cité, en negrita en el original, era: podemos sumar dos vectores cualesquiera y podemos multiplicar vectores por escalares.

No necesitas saber qué es un campo para entender nada de esto, porque está restringido a espacios vectoriales reales , en lugar de espacios vectoriales sobre campos arbitrarios. Pero te prepara para entender la idea en toda su generalidad una vez que descubres qué es un campo: “Al igual que los espacios vectoriales a los que estás acostumbrado, excepto que en lugar de que los escalares sean números reales, pueden ser elementos de cualquier campo."

Si te encuentras persiguiendo una serie interminable de definiciones, es porque estás tratando de aprender matemáticas de una enciclopedia matemática. Bueno, vale la pena intentarlo; funcionó para Ramanujan. Pero si descubres que no eres Ramanujan, puedes intentar lo que hacemos el resto de nosotros que no somos Ramanujan, y tratar de leer un libro de texto en su lugar. Y si el libro de texto comienza diciendo algo como:

Un espacio vectorial$\langle V, S\rangle$es un conjunto$V$y un campo$S$que satisfagan los siguientes 8 axiomas: …

entonces eso significa que por error te has apoderado de un libro de texto que fue escrito para personas que ya saben lo que es un espacio vectorial , y necesitas dejarlo a un lado y conseguir otro. (Esto no es una broma; hay muchos libros de este tipo).

El libro de Strang es realmente bueno, por cierto. Lo recomiendo.

Una última nota: normalmente no es suficiente leer el libro; tienes que hacer un montón de los ejercicios también.

Un matemático muy conocido me mostró cómo evita la madriguera del conejo. Copié su método y ahora puedo mantenerme al margen la mayor parte del tiempo.

Tenía seminarios semanales privados con él. Cada semana, investigaba un tema del que no sabía nada (ese era nuestro trato y eso era lo que ganaba él). Yo nombraría el tema (ejemplos: Filtros Bloom, Teorema de Knuth-Bendix, Lógica Lineal), y la semana siguiente daría una presentación de PowerPoint sin adornos de lo que descubrió. Las presentaciones tenían un patrón uniforme:

Motivating Example
Definitions
Lemmas and Theorems
Applications

Al comenzar con el ejemplo motivador, nunca nos perdimos en la maraña de tecnicismos, y la sección de Aplicaciones regresaría y explicaría el Ejemplo motivador (y tal vez algunos otros si el tiempo lo permitiera) en términos de tecnicismos.

Así aprendió solo un tema sin bajar el MRH.

Limit your rabbit-hole time (one week)
your presentation must be one hour long
Focus on a Motivating Example
do just enough technicalities to explain the example and optional variations

Desde entonces he copiado este estilo. Cuando me enseño un tema nuevo, hago una presentación de diapositivas como esa y luego se la presento a otros en un grupo de lectura semanal.

Creo que a veces, realmente no necesitas saber exactamente qué significa cada término usado, al menos no de inmediato. La mayoría de las veces, una idea vaga es suficiente para comenzar.

Verifique la definición (sin necesariamente entenderla al principio; navegar a través de un gran lío de una definición formal no siempre es útil en este punto, pero ayuda a ver su estructura general), luego vea algunos ejemplos, juegue un poco, vea cómo funciona. Si te contara todo sobre montar a caballo durante un mes, probablemente no serías tan bueno montando a caballo como lo serías si hubieras intentado practicar equitación durante una semana (y no solo porque no sé nada). sobre montar a caballo ;) ).

A medida que profundiza en el tema, puede ser útil comprender los detalles de las definiciones, así como los objetos auxiliares. ¿Para qué son? ¿Qué significan realmente? Pero al principio, no deberías esperar entenderlo todo , especialmente cuando estudias cosas más profundas que (a diferencia de los espacios vectoriales) pueden llevarte muy profundo... a la madriguera del conejo.

La familiaridad viene con la experiencia. No hay otra manera.

Como comentario adicional sobre su ejemplo de espacios vectoriales: no creo que realmente pueda entender el álgebra lineal si se restringe a los reales. Tienen característica cero, no son algebraicamente cerrados, están naturalmente ordenados... esto puede ser muy engañoso. Es bueno para empezar, pero no diría que entiendes los espacios vectoriales si solo entiendes los espacios vectoriales reales.

Es una buena idea aprender sobre espacios vectoriales primero en el contexto de escalares reales en lugar de campos generales. Pero después, vale la pena observar que, en la mayor parte de lo que aprendiste (todo menos los espacios de productos internos, en las presentaciones habituales del tema), nunca usaste el hecho de que los números reales vienen con un orden; nunca necesitabas considerar si los números eran positivos o negativos. Y para algunos propósitos, como valores propios y vectores propios, en realidad es útil permitir números complejos en su imagen. De hecho, todo lo que necesitabas sobre los números reales era poder sumar, restar, multiplicar y dividir (excepto, por supuesto, que no puedes dividir por$0$) y puedes manipular ecuaciones como aprendiste en álgebra elemental. Es por eso que es seguro permitir números complejos en su imagen, ya que comparten todas esas propiedades esenciales (para el álgebra lineal) de los números reales. Y en este punto, sabes lo que es un campo, incluso si nunca has visto la definición o incluso la palabra, porque un campo es solo una colección de cosas que se asemejan a números en la medida en que puedes sumar, restar, multiplicar, y dividirlos (excepto, por supuesto, que no se puede dividir por$0$) y puedes manipular ecuaciones como aprendiste en álgebra elemental. Los axiomas formales que definen "campo" son solo el resultado de la observación de que todas esas reglas algebraicas que aprendiste son consecuencias de solo algunas de las reglas; es decir, la mayoría de ellos son redundantes. Entonces, "campo" se puede definir dando solo las reglas necesarias, no todas las redundantes. Por supuesto, eso hace que sea más fácil verificar que algo es un campo, porque tiene muchas menos reglas para verificar, y también hace que sea más fácil escribir la definición de "campo" en un libro, porque es más corto de lo que sería de otra manera. . Pero la verdadera idea de "campo" sigue siendo que todas las manipulaciones habituales de las ecuaciones son válidas.

He caído en este vórtice con mucho de mi estudio. La única forma en que creo que puede salir de esto es comenzar leyendo libros de matemáticas blandas que no se centren en los detalles/pruebas, sino que traten de transmitir cuál es el objetivo general del tema.

Me refiero aquí a libros como " All the Mathematics You Missed: But Need to Know for Graduate School " de Garrity, que describe las diferentes disciplinas de las matemáticas, cuáles son sus roles y cómo se relacionan.

Creo que cualquiera que estudie por su cuenta (y si estás aprendiendo matemáticas creo que no tienes otra opción) se ha dado cuenta de que hay dos tipos de libros de matemáticas: los que te explican las cosas para que las entiendas y los que las asumen. Ya sabes lo básico y pon una nueva perspectiva a las cosas.

Para mí, un ejemplo reciente es la combinatoria. Mucha gente aquí sugirió el libro de Peter Cameron, lo cual es genial si ya sabes muchas cosas que no menciona. Si no lo haces, estás en el infierno tratando de averiguar de dónde saca cosas. Y luego está el libro de combinatoria de Brualdi que explica las cosas para que las entiendas y es un placer leerlo. Ahora, para comprender y apreciar correctamente la combinatoria, creo que necesita ambos libros (el primero de Brualdi y el segundo de Cameron). Pero me habría ahorrado muchos dolores de cabeza si hubiera empezado primero con Brualdi.

Metacademy es una plataforma web de código abierto impulsada por la comunidad que intenta resolver este problema exacto. En sus propias palabras:

Cuando intenta aprender un concepto determinado, Metacademy puede mostrarle la estructura completa de requisitos previos del concepto y proporcionarle un plan de aprendizaje personalizado para que aprenda el concepto de la manera más eficiente posible, completo con recursos de aprendizaje seleccionados y debates sobre la relación del concepto. a otros temas relevantes

A favor de la madriguera del conejo

Empieza por el principio y continúa hasta que llegues al final: luego detente.

Mi respuesta es algo contraria, pero lo creo firmemente: tienes que caer en la madriguera del conejo y tienes que ir lo más profundo posible en todo momento.

Las matemáticas no son ciencia. Para entender por qué croa una rana podríamos estudiar su sistema respiratorio, para entender esto podríamos profundizar en cómo se dividen las células, luego los procesos químicos en los organismos vivos, las moléculas orgánicas en general, luego la física de los átomos, las partículas subatómicas, etc. A estas alturas ciertamente hemos ido demasiado lejos. La mejor manera de entender cómo respira una rana es hacer suposiciones simplificadas a escalas mucho más altas. Así que asumimos que las células son pequeñas máquinas que hacen una determinada cosa, o al menos que los átomos son pequeñas bolas que rebotan entre sí y se pegan.

Para comprender los espacios vectoriales, no tiene sentido tratar de 'pasar por alto' los campos. Lo mejor es conocer los campos de adentro hacia afuera. Si no puede aprenderlos de adentro hacia afuera, debe conocer los conceptos básicos lo mejor posible. La madriguera del conejo no continúa para siempre; en todos los casos, llegará a definiciones básicas o cosas en las que todos estamos de acuerdo intuitivamente (como los números para contar).

Sentencia primero, veredicto después

He adoptado una disciplina de estudiar matemáticas, donde nunca paso por alto una sola palabra que no sé lo que significa, y nunca paso por alto una declaración que no puedo entender, justificar o entender la justificación. Tan pronto como tengo una pregunta del tipo "pero por qué no funcionaría eso si esa condición no fuera cierta", me detengo y lo pienso hasta que lo entiendo. Si necesito volver al principio del libro oa otro libro, lo hago, incluso si eso significa que termino leyendo los libros al revés.

No siempre trabajo así, y puede haber lugares donde no sea necesario, pero definitivamente tu ejemplo no es uno de ellos. Suponga que está tratando de aprender sobre espacios vectoriales. Francamente, no te estás haciendo ningún favor si crees en el fondo que todos los campos son$\mathbb{R}$y todos los espacios vectoriales son$\mathbb{R}^n$para algunos pequeños naturales$n$. Cada vez que justificas algo o tratas de imaginar algo usando este modelo, estás acumulando problemas para ti mismo cuando encuentras espacios dimensionales infinitos, campos finitos o espacios sobre$\mathbb{C}$y tus modelos mentales ya no funcionan. Sin mencionar los enormes problemas que habría encontrado si tuviera alguna idea errónea sobre un campo (un campo es un caso especial de un grupo, o un campo es un conjunto ordenado con algunas otras propiedades...) y hubiera continuado estudiando espacios vectoriales por un tiempo con esta imagen equivocada en tu mente.

Obviamente, no adoptaría este método para leer un periódico o un libro de historia. Si no sabes qué es un arcabuz, pero tienes la idea de que es algún tipo de arma, también podrías asumir que es un tipo de espada. Cuando descubra que es un tipo de arma, simplemente puede incorporar este conocimiento en la comprensión de lo que sea que estaba leyendo sobre arcabuces. Del mismo modo, si cree que Wisconsin está en Canadá. O no le importa a la historia en qué país se encuentra, o sí importa, y pronto descubres dónde está, con poco esfuerzo desperdiciado en reinterpretar otras partes de la historia.

Más y más curioso

Ahora suponga que usted sigue mi método. Empiezas a investigar campos. La información sobre los campos que necesitas es esta:

• Necesita conocer los axiomas que definen un campo. Estos caben fácilmente en una hoja de papel en mayúsculas escritas con rotulador. Todos ellos son bastante autoexplicativos. Conocer los nombres (conmutatividad, etc.) será invaluable. Discutible que cualquier matemático puro debería conocerlos.
• Debe conocer varios ejemplos de campos, por ejemplo$\mathbb{Q}$,$\mathbb{R}$,$\mathbb{C}$,$\mathbb{F_p}$. Si tienes acceso a las p-adics u otros campos más avanzados, mejor que mejor, pero si no, puedes vivir sin ellas. Nuevamente, no hay nada aquí que no valga la pena saber para cualquiera en cualquier rama de las matemáticas puras (o en otras palabras, este material es algo que todos los matemáticos universitarios deben aprender antes de especializarse).
• Debería conocer algunos ejemplos de cosas que son un poco como campos, pero no campos. P.ej$\mathbb{N}$,$\mathbb{Z}$, conjuntos de residuos módulo a compuesto, conjuntos de residuos reducidos,$\mathbb{R}^n$, anillos booleanos. No hay nada adicional que aprender aquí, solo necesita poder verificar que varios objetos de los que ya ha oído hablar no satisfacen la definición de un campo. Si no ha oído hablar de algún espacio, no necesita saber que no es un campo. En cada caso, simplemente descubra una línea de la definición que pueda señalar y diga 'Esto falla, por lo tanto, no es un campo'.
• Debe conocer algunos teoremas sobre campos. En particular, debe saber qué propiedades de 'números' se aplican a todos los campos. Nuevamente, este es solo un caso de perseguir la definición de un campo a través de algunos conocimientos que ya tiene. ¿La fórmula cuadrática es aplicable en algún campo? No porque las raíces cuadradas no son parte de la definición. ¿La fórmula para la solución de una ecuación lineal es aplicable en cualquier campo? Sí, porque el inverso multiplicativo debe existir porque...
• Debe tener en cuenta algunas diferencias entre los campos. ¿Qué campos son finitos? ¿Qué campos están completos (si ya sabe lo que significa completo)? ¿Cuál es la característica de un campo (una definición de una línea)?
• Debe comprender cómo un campo tiene dos grupos incrustados.

Ahora, en todo esto, en realidad solo hay tres cosas que podrían hacer que te arrastren aún más por la madriguera del conejo.$\mathbb{C}$,$\mathbb{F}_p$y la definición de un grupo. Todas estas son cosas que todos deberían saber. En el caso de los dos primeros, todo lo que necesita saber es cómo funciona la estructura del campo, no otras propiedades. Esto se puede resolver o enseñar en una hora (cómo sumar, cómo multiplicar, cómo dividir, en$\mathbb{C}$o$\mathbb{F}_p$). En cuanto a los grupos, necesita saber el equivalente de la lista anterior para los campos. Pero, sinceramente, no perdería el tiempo si leyera un libro introductorio completo sobre grupos, estudiando cada prueba en detalle, incluso si su objetivo son los espacios vectoriales. Un espacio vectorial también es un grupo, como lo son la mitad de los próximos mil espacios/objetos sobre los que aprenderá. Además, a medida que aprende acerca de los grupos, está aprendiendo:

• cómo funciona el álgebra abstracta: no asume inversas, conmutatividad, etc. a menos que los axiomas digan que puede hacerlo.
• cómo hacer pruebas lógicas, por ejemplo, cómo probar que dos conjuntos son iguales
• notación en álgebra abstracta, por ejemplo, escribir operaciones binarias como sumas, productos o de alguna otra manera.
• algunos ejemplos de grupos en los que puede pensar más adelante cuando intenta considerar espacios vectoriales o campos en general (por ejemplo, por qué puede agregar una estructura multiplicativa a algunos grupos aditivos pero no a otros).

Todos estos te ayudarán enormemente. Incluso si NUNCA llegas a los espacios vectoriales (lo harás), habrá valido la pena. Alguien que entiende de grupos es mejor matemático que alguien que cree saber lo que es un espacio vectorial, pero no entiende de grupos.

Ahora, en lugar de pensar en$\mathbb{R}$cada vez que lees un hecho sobre un espacio vectorial, puedes pensar en espacios vectoriales sobre todos los campos que conoces. En lugar de limitar su imaginación, la está desafiando a comprender las declaraciones que lee en la mayor generalidad posible.

¿Cargué mi ejemplo? Si estás estudiando algo más especializado, entonces las materias de 'madriguera de conejo' no son cosas que todos deben saber, pero son cosas que debes saber. Si está estudiando el movimiento browniano, cualquier hecho sobre la probabilidad elemental que encuentre es algo que debería poder dominar.

Todo tiene una moraleja, si tan solo puedes encontrarla

Cuando hablamos con profesores y otros matemáticos experimentados sobre conceptos matemáticos difíciles, a menudo pueden resumirlos con bellas y convincentes generalizaciones ("El análisis armónico se trata de dualidades entre el comportamiento uniforme a pequeña escala y el comportamiento convergente cerca del infinito"). Esto a menudo nos preocupa, porque no somos capaces de resolver estas cosas por nosotros mismos, y no aparecen en nuestros libros de texto de primaria.

La persona que puede hacer esa generalización no es fluida para hacer manipulaciones y resolver problemas sobre transformadas de Fourier porque ha entendido 'de qué se trata el análisis armónico'. Habla con fluidez Y puede hacer buenas generalizaciones, debido a todo el trabajo que ha realizado sobre la mecánica del análisis armónico, la resolución de problemas, la lectura lenta de pruebas, etc. Para emular a esta persona, no deberíamos tratar de poder para resumir un tema de una manera ordenada. Deberíamos tratar de adquirir su conocimiento detallado de la mecánica de su tema. Una vez que hayamos hecho esto, los destellos de intuición vendrán por sí mismos.

También debe saber que algunos analistas armónicos pueden pensar que esta 'motivación' para el análisis armónico es incorrecta, irrelevante o trivial. Sin embargo, todo tipo de analistas armónicos podrían seguir el trabajo de los demás dando las definiciones precisas con las que están trabajando, comenzando con las cosas con las que todos están de acuerdo.

Ver el panorama general es bueno, pero a menudo puede darse el lujo de perdérselo. Pierde la imagen pequeña y ya no estás haciendo matemáticas, solo leyendo sobre eso.

Aprender de manera organizada (a diferencia de "por su cuenta") puede ayudar. A lo largo de los años, maestros y autores de libros de texto han elaborado planes sobre el orden en que se deben estudiar los temas. Tratar de comenzar en el medio (con "Vector Space", por ejemplo) probablemente sea difícil.

¿Cómo evitas caer en la madriguera del conejo matemático? Y más específicamente, ¿cómo se familiariza de manera eficiente con los conceptos de requisitos previos para pasar a los temas sobre los que desea aprender?

el "agujero de conejo" que usted describe existe en todos los campos científicos y en muchos sentidos es parte de la dificultad de su naturaleza altamente especializada en la era moderna en la que puede tomar muchos años de estudio para llegar a las fronteras de la investigación moderna. sin embargo, los expertos no lo reconocen y se considera inevitable/inevitable. (Es genial obtener algo de visibilidad sobre este tema destacado con su pregunta aquí).

en muchos sentidos es inevitable, sin embargo, aquí hay algunas formas/estrategias al respecto.

• problemas de juguetes a veces hay problemas simples en una teoría avanzada que son accesibles con algunas definiciones clave en esa teoría. eso no significa que sean solucionables con esas piezas, solo que son expresables . esto puede ser un apalancamiento psicológico para profundizar en el campo.

• libros de texto en lugar de/vs papeles. los libros de texto a menudo están más organizados que los artículos, tienen una mejor idea del mapa general de la teoría y están escritos pensando en los principiantes, a veces con una descripción muy cuidadosa y el orden de introducción de los conceptos (por ejemplo, cálculo). puede haber mucha variación en la cobertura/estilo en los libros de texto sobre el mismo tema. trate de encontrar los mejores y luego elija un libro de texto que se adapte a su estilo.

• "documentos de encuesta". estos son documentos que no intentan probar nada nuevo sino que "inspeccionan" el campo. si el campo es importante, normalmente existen estos documentos. no siempre son fáciles de localizar. "los de adentro" saben acerca de ellos.

• brillantes maestros-escritores. a menudo, un campo tiene algunos escritores que son conocidos por sus habilidades expositivas más que por sus habilidades de investigación, y vale la pena centrarse en sus conceptualizaciones del campo. en algunos casos raros, esto puede superponerse, por ejemplo, Feynman viene a la mente. (y, por el contrario, puede haber pocos investigadores de gran prestigio que claramente tengan poco interés en hacer que todo sea comprensible/accesible para los neófitos o que ignoren el problema por completo, comprender su agenda principal puede ayudar a evitar la frustración).

• software/algoritmos. abordar temas matemáticos desde el punto de vista de los algoritmos que calculan las diversas entidades puede ser un enfoque pedagógico útil y tiene una relevancia cada vez mayor a medida que algunas áreas avanzadas clave de matemáticas/TCS están comenzando a superponerse. (por ejemplo, campo de combinatoria).

• buscar versiones discretas de problemas continuos. a veces parece que las matemáticas se vuelven más abstractas con aspectos continuos. existen versiones discretas del mismo problema y pueden ser más simples de entender/conceptualizar. por ejemplo, la hipótesis de Riemann tiene muchas matemáticas continuas muy avanzadas asociadas con la función Zeta, pero hay una versión discreta de la conjetura que ni siquiera menciona la función Zeta.

• posiblemente abordar el campo desde los problemas que aborda/resuelve (también conocido como "aplicaciones") en lugar de sus teorías generales. de manera más general, a menudo hay formulaciones de problemas equivalentes, una más simple de conceptualizar para los principiantes que otra.

• busque "teoremas puente" interesantes entre los campos que conoce y los campos que le interesan. Este es un teorema que muestra algo así como una "correspondencia asombrosa" que parece tener indicios de que puede o se desarrollará más.

• wikipedia puede ser útil, pero tenga en cuenta que a menudo es innecesariamente compleja/técnica en áreas difíciles de matemáticas/ciencias. a veces, en algunos temas, se lee como si estuviera escrito por expertos para otros expertos. asalta las referencias al final del artículo.

• los blogs escritos por expertos son cada vez más comunes y contienen exposiciones notablemente sofisticadas, algunas incluso superando lo que se puede encontrar en los libros de texto. Será difícil encontrar páginas específicas sobre temas, pero una vez encontradas pueden ser joyas. use google y busque solo en un blog específico, use sus enlaces de organización de temas, etc.

• Enfoques visuales de las matemáticas. muchos conceptos se pueden graficar o tener representaciones visuales que pueden ser más accesibles o intuitivas para los principiantes.

• a veces hay artículos escritos sobre "conceptos erróneos comunes en este campo". pueden ser útiles para principiantes para evitar errores comunes.

Mis 2 centavos: divide el texto en partes que puedas tragar permitiéndote varias pasadas, en las que aceptas cada vez menos por fe e intuición cada vez. Recuerdo vagamente que Terry Tao dio un consejo similar en su blog en alguna parte; Espero que alguien pueda dar un enlace.

Para temas elementales, muchos de nosotros somos capaces de "absorber" todo a la vez, todas las definiciones, ejemplos, teoremas, pruebas, intuiciones tácitas, etc. En algún momento se vuelve demasiado, así que haz lo único que los matemáticos saben cómo hacer: romper el problema en pedazos. Obtenga una descripción general de alto nivel en el primer paso, tenga una idea de lo que es importante en el segundo paso, descubra lo que le interesa entender en el tercer paso y divida las partes que le interesan iterativamente hasta llegar a algo manejable.

Para tomar una hipótesis, suponga que está leyendo un capítulo con 50 proposiciones, lemas, teoremas y ejemplos. En la primera pasada, puede leer la introducción y hojear rápidamente el resto. Después de que tenga una idea muy vaga de lo que trata el capítulo, vuelva a hojear lo suficiente para identificar los teoremas y ejemplos importantes. Aquí a veces escribo uno o dos párrafos resumiendo el capítulo. (Estará incompleto y podría estar muy equivocado, lo cual está bien. Es un poco divertido leer mis propias ideas confusas después de que realmente entiendo un tema).

Ahora descubra lo que realmente quiere entender; en algún momento simplemente no hay tiempo para comprender cada detalle, por lo que tendrá que elegir de todos modos. Tal vez la primera mitad del capítulo pruebe el Teorema M y la segunda mitad el Teorema Y, que todavía no te interesa. Genial, no hay necesidad de pasar por los lemas P, Q y R, ya que solo se usan en la segunda mitad. Tal vez el Teorema M diga aproximadamente que el Ejemplo A es el "único" ejemplo; que realmente dice que debería sentirse cómodo con el Ejemplo A, tal vez jugar un poco con él en un papel borrador antes de comenzar el viaje al Teorema M. Si es un viaje largo, divídalo en varias pasadas también, tal vez comience leyendo su demostración para que sepa qué lemas son importantes y haga otro resumen aproximado. Tal vez facilite el camino asumiendo que un objeto abstracto es algo particular, por ejemplo. que un campo general es sólo$\mathbb{R}$. Está bien leer de forma no lineal.

Eventualmente, tendrá que "llegar al fondo" y ensuciarse las manos con los detalles técnicos, pero al menos para mí es muy útil tener una visión general de alto nivel de dónde encajan las cosas entre sí antes de ensuciarse. De lo contrario, no tengo ninguna esperanza de retener gran parte de un tema complicado. Oh, a veces me escribo un resumen técnico, que puede ser útil, tal vez definiciones y declaraciones rigurosas de los ingredientes del Teorema M junto con una prueba del Teorema M en mis propias palabras usando esos ingredientes. si realmentequiero entender algo, agrego "ideas de prueba" a un resumen técnico, donde (en ese momento) puedo reconstruir pruebas rigurosas de mi resumen. Los ejercicios también pueden ayudar; a veces busco ejercicios relevantes después de las primeras páginas, para acostumbrarme a las definiciones básicas que son fundamentales para el resto del capítulo.

Esto funciona mejor con algunas fuentes que con otras. Si ni siquiera puede comenzar a dar un resumen confuso (tal vez no tenga idea de lo que significan las palabras), probablemente esté leyendo algo escrito para expertos, que aún no lo incluye a usted, por lo que una introducción más suave podría ser en orden. Siempre sé amable contigo mismo: las matemáticas escritas suelen ser el producto de años (o décadas o siglos) de trabajo de personas brillantes. No es de extrañar que a menudo tarde mucho tiempo en absorberse.

Finalmente, me gustaría señalar que escribí esta publicación más o menos en el estilo que defiendo. El primer párrafo es una descripción general esquemática de la idea principal, el segundo completa algunos detalles y del tercero al quinto "ensuciarse" con consejos prácticos.

De lo que estás hablando es del proceso de aprendizaje y la curiosidad .

Al investigar, debes tener en cuenta tu objetivo . ¿Por qué necesita estudiar anillos cuando solo está tratando de implementar una FFT? tu no Así que tienes que saber cuándo cortar la curiosidad a cambio de trabajar hacia las metas que te propongas .

Ahora bien, si no tiene un objetivo definido en su estudio de matemáticas, entonces su objetivo era deambular por la madriguera del conejo. Y no hay nada de malo en eso, te convertirás en un pensador analítico más fuerte cuanto más estudies matemáticas.

La verdadera pregunta del OP:

¿Cómo evitas caer en la madriguera del conejo matemático?

La respuesta de MJD sugiere la respuesta a esta pregunta: Lea un libro de texto . Los libros de texto están diseñados para presentar el material en el orden correcto, sin sobrecargar ni entrar en demasiados detalles. Están diseñados para ayudarte a progresar.

Saber qué libro de texto leer es un problema en sí mismo, y para eso realmente debería preguntarle a un profesional (Ver: preguntar a un médico en lugar de autodiagnóstico). Para tener una idea de si el libro de texto es adecuado para usted, hojee solo el primer capítulo. Si siente que comprende o podría comprender el contenido de ese capítulo, entonces es oro. Si no, busque el libro de texto que lo pondrá al día para ese primer capítulo.

Es posible visualizar un objeto espacial 2D o 3D con alguna estructura en tu imaginación, que está hecho de materia abstracta y se comporta de cierta manera. Por ejemplo, para un espacio vectorial, visualizo algo así como un par de flechas desde un punto (el origen), apuntando en una dirección general (en la instancia real imaginada, las direcciones son bastante específicas) y una parte de un plano extendido entre y un poco más allá de ellos. Y todos estos están en un estado de animación congelada.

A medida que uno se acostumbra a los espacios vectoriales (por ejemplo), este tipo de cosas ayuda. La razón es que muchas preguntas sobre todos los espacios vectoriales podrían responderse considerando solo un ejemplo no trivial con el que esté familiarizado. Esto acelera la búsqueda a través de la lista de cosas que sabes, mediante el uso de amplias capacidades de memoria y razonamiento espacial del cerebro.

En general, el comportamiento de, digamos, un espacio vectorial, es infinitamente complejo. ¡La madriguera del conejo es infinita! (Y se divide exponencialmente en muchas madrigueras en función de la profundidad). Es decir, mientras las definiciones son pequeñas y finitas, el conjunto de todos los comportamientos posibles es infinitamente complejo, para objetos como grupos, campos, espacios vectoriales.

Si alguien pasara toda su vida trabajando con espacios vectoriales, probablemente tendría en mente un museo de objetos visualizados representativos, y algunas formas eficientes de elegir cuál usar para responder una pregunta u otra. Algunas personas, estoy bastante seguro, también tienen al menos otra forma de pensar que es mucho más rápida que este tipo de visualización espacial pero que produce respuestas intuitivas de manera constante. Algunos estudiantes de la Olimpiada Internacional de Matemáticas pueden resolver problemas nunca antes vistos diez veces más rápido que el matemático profesional promedio, y me gustaría saber cómo. También he leído que algunos grandes maestros de ajedrez (¿la mayoría?) mantienen su nivel de rendimiento cuando se les pide que resuelvan continuamente sumas simples mientras juegan al ajedrez. Así que tal vez haya otra forma de familiaridad.

De todos modos, para responder a la pregunta:

1. Es muy útil para explorar los confines cercanos de la madriguera del conejo. Con un hilo corto de Ariadna. Es fácil pasar por alto áreas interesantes incluso allí, por lo que un conjunto sólido de ejercicios de un conjunto clásico de notas de clase es invaluable para obtener una buena cobertura rápidamente y entrenar cualquier construcción que comprenda.

2. Si tienes algún objetivo, eso es aún mejor, y aunque algunos matemáticos puros encuentran su nirvana en un paseo aleatorio a través de tramos relativamente aterradores de la madriguera del conejo (que se vuelve rápidamente más horrendo e inútil con la profundidad; aunque estoy seguro de que hay venas esquivas de oro y atajos asombrosos, etc.), no puedes equivocarte con un objetivo útil del mundo real.

Leí muchas matemáticas por mi cuenta cuando era joven. Iba a sentarme en las pilas y examinaba los libros sobre lo que quería aprender hasta que encontraba uno que "me hablaba". Parte de esa prueba era si podía hacer algunos ejercicios. Una vez que encontré un libro así, lo revisé, trabajando tantos ejercicios como pude. Si no podía encontrar un libro así, simplemente hacía girar mis ruedas por un rato hasta que mis intereses cambiaron.

Esta pregunta tiene una implicación mucho más amplia. "Going down the Math Rabbit Hole" simplemente revela la naturaleza de ser cualquier tipo de académico, no solo un matemático. Este tipo de cosa sin fin es buena para algunas personas que disfrutan tener cosas que no saben para poder seguir haciendo cosas (si las cosas que están haciendo valen la pena es una cuestión completamente diferente). Esta cosa sin final, sin embargo, es realmente mala para otras personas, ya que es frustrante saber que nunca puedes terminar y que nunca puedes tener un cierre. Como un graduado actuarial que trata de hacer suficientes matemáticas, encuentro útil tomar algunas materias fundamentales como cálculo y álgebra sin las cuales simplemente es demasiado difícil hacer cualquier otra cosa. También sugiero una actitud sana hacia el estudio. Hoy en día, el trabajo interdisciplinario es la norma. Uno nunca podría adquirir todo el conocimiento que necesita para su trabajo. Para mi propio propósito, solo necesito saber lo suficiente para poder comunicarme con mis colegas que son matemáticos, que es el equilibrio ideal en mi opinión.

Evite tragarse definiciones y partir de ahí. Si bien le dan la ilusión de que está aprendiendo, es posible que esté perdiendo conocimientos y enmascarando problemas.

Lo que sugeriría es leer algunos libros de texto universitarios dirigidos a estudiantes de matemáticas de primer y segundo año. En mi experiencia (limitada) comienzan desde cero y van desde allí.

Sin embargo, si no desea pasar su tiempo trabajando con libros, la mayoría de las universidades ofrecen programas sin título. Puedes seleccionar las clases que quieras y aprender lo que quieras a fondo. Esto tiene la ventaja de que tendrás acceso a resúmenes baratos, ejercicios y alguien dispuesto a explicártelo.

Para espacios vectoriales específicamente, todo libro de introducción al álgebra lineal debería ser suficiente.

Esta es mi breve e ingenua respuesta, no siempre posible pero realmente buena cuando lo es: pregúntale a alguien que sepa y cuyas habilidades pedagógicas respetes. Interrumpa cuando necesite menos (o más) precisión técnica en su respuesta.

La cosa es que no tienes que saber qué es un campo para trabajar con espacios vectoriales. El campo "cosas" relaciona espacios vectoriales con una generalización que los conecta con otros espacios. Omita la madriguera del conejo, lea el resto del capítulo y haga algunos ejercicios.

No tienes que entender la palabra "bebida" para tragar el Kool-Aid.

Como una de las muchas "Alices" en el MRH llamado stackexchange, creo que estudiar matemáticas sin estructura es como despertarse en caída libre. Ves todo lo que te rodea, incluso puedes llegar a comprender algunas cosas que pasan por tu cabeza, pero no puedes quitarte la sensación de que estás cayendo. Más concretamente, es como leer un libro en un idioma extranjero con un libro de traducción cerca. Es una lectura difícil pero factible.

Creo que la opinión de Halmos es extremadamente útil en estas situaciones: "Cuando te encuentres con un obstáculo, un pasaje misterioso, un problema sin solución, simplemente sáltatelo. Salta adelante, intenta con el siguiente problema, pasa la página, ve al siguiente capítulo o incluso abandonar el libro y comenzar otro. Los libros pueden estar ordenados linealmente, pero nuestras mentes no".

Si sigue este consejo, descubrirá más tarde que el obstáculo no es importante para el sujeto (es decir, reconoce que la definición de un "campo" no es importante para el álgebra lineal) o tendrá más información sobre el desafío, por lo que por lo general, es más fácil cuando vuelves a visitar esa parte del libro con fines de revisión. Esto le ahorraría mucho tiempo al concentrarse en detalles sin importancia y es mejor para una comprensión holística del tema.

Finalmente, si te saltaste demasiado, probablemente valga la pena pensar si el libro (o el tema) es adecuado para ti. Pregúntele a un profesor que conozca su experiencia o eche un vistazo a stackexchange para obtener reseñas de libros. Dicho esto, no creo que el álgebra lineal tenga este problema y todo lo que necesitas es un buen libro que se adapte a tu forma de aprender.

No soy bueno en álgebra, pero lo que puedo decirte es que cuando lo necesites, lo obtendrás. Las "cosas profundas" existen solo como respuestas a preguntas más profundas, y este tipo de aprendizaje parece ser sistemático en todas las épocas. Es tentador profundizar en Wikipedia, pero lo dicho anteriormente es como si aquí actuaras como un algoritmo de visitante gráfico: visitar nodos adyacentes y apilar los anteriores. Tenga en cuenta también que Wikipedia se está convirtiendo en un Monstruo: los colaboradores están más preocupados por la integridad que por la audiencia. Y esta completud en sentido matemático es... ¡¡¡formalidad y verbosidad!!! Por eso necesitamos libros y ejercicios. Después de muchos ejercicios, tu cerebro preguntará "por qué no estoy organizando o relacionando esos objetos matemáticos de alguna manera"... y luego vas a Wikipedia en busca de respuestas para descubrir que otro grupo de cerebros hizo eso. Y luego reconoces que entiendes 5 o 6 hipervínculos y dices "¡gracias wikipedia! sin ti no sería posible" :P