¿Es la 'Teoría algebraica de números' el estudio de la teoría de números algebraicos, o es el estudio de la teoría de números desde un punto de vista algebraico?

Debo estar en desacuerdo con las afirmaciones de que la "Teoría algebraica de números" es un estudio algebraico de cualquier cosa, posiblemente incluida la teoría de números o, posiblemente, "números", cualquiera que sea la referencia.

Es decir, en la práctica genuina, es "la teoría de los números algebraicos", incluidos los "enteros algebraicos", incluidos$p$-métodos ádicos, incluidos los métodos de variables complejas, incluidos los métodos de análisis armónico, incluida la teoría de Galois, incluido el álgebra conmutativa rudimentaria, ...

Por ejemplo, no hay (que yo sepa) ninguna prueba "puramente algebraica" de la continuación analítica y la ecuación funcional de las funciones zeta de los campos numéricos, de las funciones L de Hecke de las mismas, ni siquiera del Teorema de las Unidades de Dirichlet y la finitud del número de clase... en parte porque estos no son hechos "puramente algebraicos", porque se cumplen para anillos de enteros algebraicos (y los análogos del campo de funciones), no para dominios generales de Dedekind.

Cierto, el hecho de que entre un poco de álgebra conmutativa y un poco de teoría de campos puede hacer que algunos piensen que "esto es álgebra", así como la entrada de algún análisis complejo induce a algunos a decir "es teoría analítica de números", pero estos son esencialmente formas irrelevantes de evaluar la situación y, también, de analizar los nombres de las cosas.

Es principalmente lo último: el estudio de la teoría de números desde un punto de vista algebraico, así como la teoría analítica de números es el estudio de la teoría de números desde el punto de vista del análisis.

Con la teoría algebraica de números, a menudo es más fácil resolver ecuaciones que serían más difíciles, si no imposibles, con métodos elementales. La teoría algebraica de números a menudo trata estas ecuaciones en el contexto de una estructura algebraica específica (aunque no necesariamente especificada) conocida como anillo, que a menudo invoca conceptos algebraicos como homomorfismos, biyecciones, sobreyecciones, etc.

Pero, por supuesto, es importante conocer la distinción entre números algebraicos y enteros algebraicos.

Considere la página de Wikipedia para la teoría algebraica de números en otros idiomas:

• Théorie algébrique des nombres

• Algebraische Zahlentheorie

• Teoría algebrica dei numeri

• Teoría algébrica dos números

La excepción que confirma la regla es el español:

• Teoría de números algebraicos

que comienza reconociendo la otra forma: "La teoría de números algebraicos o teoría algebraica de números ..."

En estos lenguajes (que son los que puedo entender), está claro que la teoría es algebraica, no los números. Por otro lado, sí estudia los números algebraicos, de ahí la confusión.

Es el estudio de la teoría de números desde un punto de vista algebraico. Los métodos de la teoría algebraica de números se utilizan para resolver muchos problemas de teoría de números. Por ejemplo, el estudio de los números enteros gaussianos arroja luz sobre el problema de qué números primos son la suma de dos cuadrados.

Las respuestas de la comunidad de Matemáticas StackExchange no solo son "más intuitivas e instructivas", sino que son mucho más válidas que cualquier cosa que encuentre en Wikipedia. Aunque es cierto que gran parte de la "comunidad" aquí también está activa en Wikipedia, sus talentos y conocimientos se desperdician en su mayoría allí.

Hay un control mucho más estricto aquí que allá. Y no cualquiera que tenga una cuenta aquí puede editar la lista de etiquetas (por ejemplo, yo no puedo, por mucho que me moleste la minúscula "diofantina"). Esa lista de etiquetas define la teoría de números algebraicos así:

Preguntas relacionadas con la estructura algebraica de los números enteros algebraicos

Me parece muy claro. En aras de la comparación, mire la teoría elemental de números

Preguntas sobre congruencias, ecuaciones diofánticas lineales, máximo común divisor, divisibilidad, etc.

teoría-analítica-de-números

Cuestiones sobre el uso de los métodos de análisis real/complejo en el estudio de la teoría de números.

y p-adic-number-theory

En matemáticas, el sistema numérico p-ádico para cualquier número primo p extiende la aritmética ordinaria del racional

Ajustaría la puntuación de ese último, pero, como dije, no puedo editar las descripciones de las etiquetas. Pero puedo ir a Wikipedia ahora mismo e insertar todo tipo de tonterías y equivocaciones.