Del estilo de ingeniería a las matemáticas adecuadas

Actualmente tengo una educación estilo ingeniería en matemáticas. Cubrimos una gran cantidad de material (por ejemplo, análisis real y complejo, algo de teoría de la probabilidad y teoría de grafos), pero la mayoría de las veces establecimos teoremas sin pruebas formales y, lo que es peor, hubo una cantidad significativa de movimientos manuales (límites móviles). alrededor sin la debida justificación, y similares).

Ahora me doy cuenta de que este enfoque es similar a tomar esteroides para fortalecer los músculos: si bien te permite cubrir mucho terreno en un tiempo relativamente corto, crea más problemas de los que resuelve a largo plazo.

Lo que me gustaría son sugerencias para 'convertir' mi conocimiento matemático en conocimiento adecuado, utilizando un enfoque de autoaprendizaje complementado con preguntas aquí. Lo que tengo en mente son preguntas como (pero no limitadas a):

  • ¿Donde debería empezar? (¿teoría de conjuntos?, ¿lógica de predicados?).
  • ¿Que sigue? (¿análisis real? ¿análisis complejo?).
  • ¿Debería trabajar con libros enteros, resolviendo cada problema?
  • ¿Cuáles son los temas centrales que cualquier matemático que se precie debería conocer bien?
Obtenga Cómo probarlo de Velleman.
Me pregunto cuál es tu motivación. Si solo está buscando ser un mejor ingeniero, parece que debería preguntarle a los ingenieros sobre eso. Si quieres aprender matemáticas por amor, adelante y hazlo, y en mi opinión, no dejes que la gente te diga qué aprender, solo sigue lo que te emociona.
Busque Advanced Real Calculus de Kenneth S. Miller en una biblioteca si tiene acceso a una. Es uno de los tratamientos más agradables que conozco para lo que supongo que es tu pasado. El libro es corto, riguroso y sería un gran requisito previo para los Principios de análisis matemático de Rudin . También vale la pena echarle un vistazo a A First Course in Partial Differential Equations: with Complex Variables and Transform Methods de Weinberger (aprenda todo sobre la convergencia uniforme y cosas por el estilo haciendo que surja "naturalmente").
¿También has estudiado álgebra lineal? No lo mencionas específicamente en tu publicación.

Respuestas (2)

Dos posibilidades:

  1. Da por sentado lo que has aprendido (sí, hay huecos, pero lo que has explicado agitando vigorosamente las manos puede probarse rigurosamente). Profundice en las pruebas formales del nuevo material a medida que lo necesite, tal vez completando cualquier material subyacente que lo inquiete.
  2. Comience desde el principio, complete todos y cada uno de los agujeros.

Como cuestión de conveniencia, iría con (1), (2) te llevará mucho tiempo llegar a donde quieres ir. De hecho, he encontrado (por experiencia personal) que tratar de aprender de manera preventiva tiende a desviarte al no tener una meta en mente. Además, suele pasar que cuando necesitas algo ya estudiado, lo habrás olvidado; o, quizás aún peor, nunca lo necesita.

No es realmente una cuestión de conveniencia en mi caso. El problema con el enfoque de "aprende mientras lo haces" es que con frecuencia te quedas atascado en bucles infinitos: intentas comprender una prueba en un análisis real, pero no puedes porque no conoces la teoría de conjuntos subyacente, etc. supongo que un enfoque de abajo hacia arriba sería mejor en mi caso?
@ user60297 Todo lo que necesita saber sobre la teoría de conjuntos y otros "fundamentos" para apreciar completamente el análisis real está completamente contenido en los capítulos 1 y 2 de PMA de Rudin.
Si entras en un ciclo infinito, has encontrado una falla en las matemáticas ;-) Prefiero el enfoque de arriba hacia abajo. Primero sepa por qué algo como el teorema del valor intermedio es crucial, luego profundice en la prueba. Da un sentido de propósito. Pero la gente es diferente...

Para comprender los conceptos básicos de la mayoría de las matemáticas utilizadas en ingeniería, le sugiero que comience con un análisis real, luego continúe con el análisis complejo, el análisis funcional y la teoría de la medida. El análisis real puede ser un poco difícil al principio, si no está acostumbrado a buscar y escribir demostraciones rigurosas, pero luego será más fácil.

Estoy tratando de imaginar a alguien con poca (sin) experiencia en pruebas recogiendo Principios de análisis matemático, y no imagino que vaya muy bien. Creo que un breve curso de prueba sería un lugar mucho mejor para comenzar.
@Tyler Estoy completamente de acuerdo. El libro de Rudin no es bueno para saltar a las matemáticas. Pero encontré el 'Real Analysis' de Berberian perfecto para el mismo propósito. Es uno de mis libros favoritos. Sin embargo, no cubre mucho material.
@fgp Supongo que depende. Si realizó un plan de estudios de ingeniería, es probable que ya comprenda una gran parte del análisis real en un nivel intuitivo. Nunca he usado el libro de Rudin sobre análisis real, pero he usado su libro sobre análisis funcional y encontré que funciona bastante bien para mí.
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