Múltiples preguntas simples de alguien que acaba de comenzar a aprender matemáticas por sí mismo

Demasiado largo para un comentario, pero en realidad no es una buena respuesta, en mi opinión: lo dejaré ahí porque es mi granito de arena y dejaré que los demás decidan.

El comentario de @GReyes es acertado (me gustaría poder votarlo más). Los cimientos son duros ; La teoría axiomática de conjuntos es difícil . Es muy abstracto, seco, tiene mucho formalismo y puede volverse una especie de "meta" en algunos puntos. De ahí gran parte de la dificultad para llegar a pruebas. (Sin embargo, algunas teorías de conjuntos ingenuas y muy básicas (manipulación de intersecciones, reuniones, conjuntos de potencia, inyecciones, sobreyecciones...) pueden ser importantes e interesantes).

El álgebra lineal, el análisis real, por otro lado, son temas mucho más manejables, con una intuición más fácil y mucho más adecuados para aprender matemáticas , es decir, probar cosas. Esto todavía no suele ser fácil de aprender por cuenta propia.

Acerca de las pruebas... bueno, cuanto más practiques (un buen libro debe tener ejercicios en los que demuestres cosas; también puedes probar y rehacer una prueba de un teorema probado por el autor sin usar el libro; puedes intentar encontrar contraejemplos para ver si todas las suposiciones son necesarias), mejor te sale. Lo que al principio pueden parecer trucos alucinantes se convierten en ideas importantes que conoces y puedes emplear por tu cuenta.

¡Esto no sucede de la noche a la mañana! Para los temas que no son demasiado fáciles para ti, las nuevas demostraciones brillantes, los nuevos teoremas brillantes, los nuevos métodos brillantes, las nuevas herramientas brillantes entrarán lentamente en tu mente, hasta que un día mires hacia atrás y te des cuenta "oh, ahora lo entiendo" ( y Me daré cuenta varias veces de que lo que antes parecía aterrador ya no lo es tanto). Y mirará todas estas demostraciones complicadas que leyó, aprendió y sudó, y se dará cuenta de que "realmente tiene sentido ahora".

(Piense en ello como un gran proyecto escolar individual que tiene que hacer por su cuenta. Hay trabajo, problemas, cosas que resolver, detalles que revisa hasta que finalmente funcionan y, al final, mira hacia atrás y realmente entiende todo lo que hiciste).

Además, recuerda que todas estas ideas tomaron mucho tiempo para ser pensadas. Tienes la enorme ventaja de ser guiado en una dirección fructífera.

Empecé a estudiar la teoría axiomática de conjuntos y la lógica matemática, y debo decir que la teoría axiomática de conjuntos es bastante difícil, especialmente porque no hay cálculos en absoluto (como estoy acostumbrado desde la escuela secundaria y la universidad) y se trata de probar teoremas sobre teoremas.

Hasta donde yo sé, pasar de los cálculos a las pruebas es un cambio profundo en el pensamiento. Al calcular, utiliza métodos de cálculo inventados y probados como correctos por matemáticos. Ahora tienes que hacer esto tú mismo. Demostrar requiere aprender un nuevo idioma que está más alejado de los lenguajes naturales de lo que están entre sí.

Tienes razón en que los cálculos son casos especiales de pruebas.

¿Cómo puedo aprender a escribir estas pruebas complicadas? Encontré un par de libros en Amazon, como cómo probarlo por ejemplo, pero enseñan técnicas como pruebas por contradicciones, pruebas directas, etc. usando ejemplos simples y realmente no ayudan mucho ya que a veces para probar algunos teoremas tengo que pensar en algunos trucos "locos" para hacerlo... así que la respuesta obvia a esta pregunta es "practicar mucho", pero ¿cómo?

Descubrí que nadie conoce ningún otro método que ya describiste. Después de leer un libro sobre lógica práctica, solo leemos libros sobre temas específicos. Si te resulta difícil aprender materias específicas, tal vez necesites estudiar un poco más la lógica práctica. Hay otros libros, pero por lo general no tienen la palabra "lógica" en su título, sino que se llaman "introducción a las matemáticas avanzadas", "fundamentos" o incluso "matemáticas discretas".

Para practicar la redacción de pruebas, algunas ramas pueden ser más fáciles que otras. El análisis definitivamente es difícil. El álgebra lineal está bien, pero requiere muchos requisitos previos si lo aborda con rigor. El uso de números reales es común en álgebra lineal, pero ¿qué es un número real? Se define en el análisis. Los sistemas numéricos, la teoría de números, la combinatoria, la teoría de grafos deberían ser más fáciles. Por ejemplo, la combinatoria se trata de conjuntos finitos, por lo que ni siquiera trabaja con conjuntos infinitos, mientras que cualquier intervalo no degenerado de números reales es infinito e incontable. El análisis y el álgebra lineal pueden parecer más fáciles porque son prácticos, pero su practicidad no ayuda cuando pruebas tus afirmaciones. En realidad, el análisis existió sin una definición real de número real durante 200 años, así de difícil fue.

Si bien existe un método claro y formalizado para verificar la exactitud de las pruebas, inventar una prueba requiere creatividad. Es como escribir canciones. Estudias canciones escritas por generaciones pasadas y tratas de escribir las tuyas propias. TBH, hubo matemáticos (Polya, Hadamard, Poincaré) que estudiaron la creatividad matemática. Esos estudios son más bien filosóficos. Creo que la experiencia es más útil que la filosofía y esos estudios no serán útiles sin experiencia.

Un método que puedo recomendar es pensar en ejemplos y contraejemplos. Si un teorema dice que todo P es Q, trate de pensar en ejemplos que sean Q, pero no P. Otro método que puedo recomendar es decidir si un enunciado es verdadero o falso. Este ejercicio es más realista. Cuando descubres el conocimiento matemático, no sabes de antemano si una afirmación es verdadera o falsa. Decidir requiere mucha experiencia.

¿Debería tratar de demostrar un teorema de la misma manera que lo demostró el autor? ¿Este enfoque realmente ayuda a aprender a generar nuevas demostraciones?

Creo firmemente que no debes memorizar pruebas como canciones. Intente inventar una prueba usted mismo, no solo en ejercicios, sino también para teoremas fundamentales. Incluso si no tuvo éxito en esto, intente reformular la prueba dada de una mejor manera. Esto te permite ser creativo y también te ayuda a recordar la prueba. De hecho, no es raro que un teorema fundamental tenga más de una demostración. Puede descubrir esto comparando libros de texto sobre el mismo tema.

Aprender teoría de conjuntos y lógica matemática es un paso en la dirección correcta, pero no vaya demasiado lejos. Los libros dedicados a estos temas contienen temas especializados como los ordinales transfinitos en la teoría de conjuntos. No necesitarás estos temas en este nivel, y debido a estos temas, esos libros tienen la reputación de ser difíciles. Los cimientos no son duros. Si fuera de otro modo, ¿cómo podrían muchos aprender fundamentos superficialmente y poder probar? Desde la lógica, las reglas de inferencia son suficientes. Recomiendo la deducción natural. De la teoría de conjuntos es suficiente la llamada teoría elemental de conjuntos, y con esto me refiero a intersección de conjuntos, unión, conjunto potencia, función, relación, inducción matemática sobre números naturales, cardinalidad infinita. La teoría de modelos puede ser útil en álgebra abstracta.

En cambio, recomiendo familiarizarse con el álgebra abstracta y las matemáticas abstractas en general. Por matemáticas abstractas entiendo estructuras en el sentido de Bourbaki. Su popularidad ha crecido mucho desde su inicio hace 100 a 150 años, y se extendieron por casi todas las ramas de las matemáticas. Este es un tema que todo el mundo debería conocer, y por eso puede llamarse fundamental. En realidad, el álgebra lineal es una rama del álgebra abstracta.