Una parte importante de la lectura de cualquier texto de matemáticas es la comprensión de teoremas y demostraciones. Para mí, trataría de encontrar una prueba por mí mismo antes de leer la dada en el texto. Pero a veces la prueba puede ser demasiado difícil para mí, por ejemplo, puede involucrar trucos en los que nunca puedo pensar. Entonces mi pregunta es:
¿Qué es lo mejor que se puede hacer con estas pruebas "duras"? Cuando no puedo probarlo por mí mismo, ¿debo rendirme y leer la prueba dada en el texto, o debo dejarlo e intentar probarlo más tarde? ¿O tal vez hay mejores cosas que hacer?
Para hacer esta pregunta más concreta (y no demasiado suave), permítanme decir algo sobre mis antecedentes. Solo sé algo de análisis matemático básico y álgebra lineal en el nivel de primer año, y los teoremas no suelen ser tan difíciles de probar. Últimamente he estado leyendo teoría de grupos, trabajando con An Introduction to the Theory of Groups de Rotman . Si bien este libro no es difícil de entender, encontré bastantes teoremas que no pude probar. Un ejemplo es el Teorema 4.8, que establece que el número de subgrupos de orden en un finito -grupo (dónde ) es congruente con modificación . Otro ejemplo es el teorema de P. Hall sobre los subgrupos de Hall. La prueba tiene más de una página y no tengo ni idea de cómo abordarla.
Sé que habrá más y más teoremas no triviales como estos a medida que estudio matemáticas, por lo tanto, estoy aquí para preguntar qué debo hacer. Ya que me he estado enseñando a mí mismo todo este tiempo, no quiero equivocarme en primer lugar...
Si esta pregunta sigue siendo demasiado suave o vaga, por favor hágamelo saber. Y gracias por todos los consejos!
Primero, felicitaciones por intentar primero encontrar una prueba por su cuenta. Este es un excelente hábito y pagará dividendos.
Sin embargo, no creo que deba omitir la prueba, planeando regresar más tarde. Algunas pruebas implican nuevas técnicas, giros ingeniosos, incluso lo que podría llamarse "golpes de genialidad". Las matemáticas de hoy son el resultado final de más de 2000 años de trabajo de algunas de las personas más inteligentes del planeta, y de cientos de miles de personas que tampoco se quedaron atrás. No es realista pensar que podrás igualar todo eso.
Mi enfoque personal: si no puedo ver cómo probar algo, después de intentarlo decentemente, hojeo la prueba en el libro. Tal vez el giro ingenioso salga a relucir. Luego intentaré terminar la prueba por mi cuenta. Pero leeré la prueba línea por línea si es necesario. Uno o dos días después, intentaré reconstruir la prueba en mi cabeza (preferiblemente mientras doy un largo paseo), para ver si realmente he digerido sus ideas fundamentales.
La desventaja de guardar la prueba para más tarde: puede convertirse fácilmente en una bola de nieve, donde se pierde un punto clave en la página 10, por ejemplo, y por lo tanto no puede hacer (o incluso seguir) la prueba en la página 12, y así sucesivamente.
Idealmente, los ejercicios del libro le darán muchas oportunidades para solidificar su comprensión.
Creo que a menudo se necesita trabajar con más ejemplos del Teorema en sí, antes de pasar a todos los detalles de la demostración. Por ejemplo, elija un ejemplo muy explícito, digamos , y . Entonces tiene elementos. determinar todo -subgrupos de orden , y verifique todo explícitamente.
Colescu
Michael Weiss
Michael Weiss
Colescu